Онтологические модальные понятия

В терминах каузальной импликации и пропозициональных связок могут быть определены онтологические модальные понятия.

Примем следующие определения онтологических модальных понятий в терминах каузальной импликации и пропозициональных констант:

CLp = _Df = ∆ ⇒ р, или

CIp = _Df~ p ⇒ ~ ∆,

«р онтологически необходимо» означает «тавтологическое (всегда имеющее место) состояние дел каузально имплицирует р»;

СIр =_Df~ (∆ ⇒ р) & ~ (∆ ⇒ ~ р), или

СIр =_Df ~ (~ р ⇒ ~ ∆) & ~ (р ⇒ ~ ∆),

«р онтологически случайно» означает «неверно, что всегда имеющее место состояние дел каузально имплицирует р, и неверно, что такое состояние дел каузально имплицирует не-р»;

CMp = _Df CLp v Clp,

«р онтологически возможно» означает «р онтологически необходимо или р онтологически случайно»;

CRp = _Df~ CMp,

«р онтологически невозможно» означает «неверно, что р онтологически возможно».

Можно показать, что минимальная логика каузальной импликации 011 содержит следующую минимальную логику онтологических модальных понятий:

АО. Множество аксиом классической логики высказываний,

А1. CLp & CLq ⊃ CL(p & q),

А2. СL (р v q) v CI(p v q) ≡ CLp v CLq v Clp v Clq,

A3.CIp ⊃ ~ CLp & ~ CL ~ p,

(R1)-(R3) системы OIl.

– 101 –

Определения:

СМр = _Df CLp v CIp,

CRp = _DfCL ~ p.

Назовем эту минимальную (не зависящую от тех или иных допущений об областях приложения) логику онтологических модальностей системой ОМ 1.

Подсистемой ОМ2 будем понимать результат расширения ОМ1 слабым принципом онтологической непротиворечивости:

CLp ⊃ ~ CL~p,

в соответствии с которым противоречащие друг другу высказывания не могут быть оба онтологически необходимыми.

Идея онтологической непротиворечивости выражается также формулами

CLp ⊃ ~ CRp,

CLp ⊃~ CM ~ р,

~ CLp (p & ~ р).

Эти формулы дедуктивно эквивалентны слабому принципу онтологической необходимости на базе ОМ 1.

Подсистемой ОМЗ будем понимать расширение ОМ1 сильным принципом онтологической непротиворечивости

CLp ⊃ р,

согласно которому онтологически необходимое высказывание должно быть истинным.

Можно показать, что система ОМ2 содержится в OI2 и что ОМЗ содержится в ОI3.

С другой стороны, может быть показано, что логика каузальной импликации ОН содержится в логике онтологических модальностей ОМ1, система 012 – в ОМ2 и система OI3 – в ОМЗ. Для этого достаточно воспользоваться обычным определением каузальной импликации как онтологически необходимой (материальной) импликации:

p – q =_DfCL (p ⊃ q).

Можно наметить еще одно расширение минимальной логики онтологических модальностей ОМ 1 – расширение ее принципом онтологической полноты, являющимся модальным аналогом закона исключенного третьего логики высказываний:

CLp v CIp v CRp,

– 102 –

«всякое высказывание или онтологически необходимо, или онтологически случайно, или онтологически невозможно». Этому принципу эквивалентны формулы:

CLp v CIp v CL ~ p,

СМр v СМ ~ р,

~ CLp ⊃ СМ ~ р,

СМ (р v ~ p).

Систему, являющуюся расширением ОМ1 принципом онтологической полноты, назовем ОМ4.

Можно показать, что теория строгой импликации с константой Z и функтором К. содержит минимальную логику онтологических модальностей ОМ1. Для этого можно воспользоваться определениями

CLp = _DfKZ & (Z → p),

CIp = _DfKZ & ~ (Z → р) & ~ (Z → ~ р).

Согласно первому определению онтологически необходимыми являются известные законы природы и их логические следствия. Онтологические возможность и невозможность могут быть определены обычным образом.

Для получения в рамках теории строгой импликации системы ОМ4 необходимо, помимо указанных определений, принять следующую аксиому

KZ,

«известно множество законов природы Z».

Множество законов природы может пониматься двояко: потенциально – как совокупность известных в определенное время законов и актуально – как совокупность, включающая наряду с установленными и все существующие, но еще не открытые законы природы. Введение указанной аксиомы равнозначно, как кажется, переходу от потенциального понимания законов к их актуальному пониманию.

Каузальная импликация, вводимая определением D* или более простым определением

p → q = _Df (Z & p) →q,

шире того, что понимается обычно под каузальной импликацией. Эта импликация близка известной импликации Беркса, построившего первую логику онтологических модальностей, и может читаться как «р каузально или логически имплицирует q».

– 103 –

Более соответствуют обычному пониманию каузальной импликации отношения, вводимые следующим определением (pBq означает «р раньше q»):

P ⇒ q= _Df(Z & p → q) & ~ (p → q),

P ⇒ q= _DfpBq & (Z & p → q),

P ⇒ q= _Df pBq & (Z & p → q) & ~ (p → q),

P ⇒ q= _DfpBq & (Z & p → q) & (Z & ~ p → ~ q).

Присоединение последнего из данных определений к теории строгой импликации (или иной, подобной ей теории логического следования), дополненной элементарными утверждениями об отношении «раньше» и о множестве законов природы, позволяет, в частности, получить теорию «собственно каузальной импликации», теоремами которой являются формулы:

~ (р ⇒ р),

«ничто не является причиной самого себя»,

(р ⇒ q) ⊃ ~ (q ⇒ р),

«если одно событие является причиной другого, то неверно, что второе есть причина первого»,

(р ⇒ q)⊃ ~ (p ⇒ ~ q),

(р ⇒ q) ⊃ ~ (~ р ⇒ q).

Описываемая этой теорией каузальная импликация близка по своим свойствам каузальным отношениям, определявшимся Саппсом в терминах вероятности и временного предшествования модальных событий. Эта импликация, как показывают приведенные утверждения о ней, является нестандартной импликацией. В обычном языке она передается, однако, подобно большинству стандартных импликаций, условным высказыванием, т. е. высказыванием с «если, то».

Остается открытым вопрос о таком расширении минимальной логики причинности (системы ОI1), которое шло бы в параллель расширению минимальной логики онтологических модальностей (ОМ1) принципом онтологической полноты (ОМ4).