Логика категорических высказываний и логика предикатов

В современной логике ту часть традиционной логики, в которой говорится об отдельных законах логики высказываний, принято сопоставлять с исчислением высказываний, логику категорических высказываний – с исчислением предикатов.

Причины, в силу которых традиционная логика терминов (традиционная теория категорических суждений) должна соотноситься именно с исчислением предикатов, а не с исчислением высказываний, представляются, на первый взгляд, очевидными.

Считается, что предложения традиционной теории категорических суждений, в частности, предложения силлогистики, не могут быть выражены только средствами чистого исчисления высказываний, так как последнее базируется на абстракции цельных нерасчлененных высказываний, в то время как даже в самых простых силлогистических выводах определяющую роль играет внутренняя логическая структура высказываний – то или иное отношение между субъектом и предикатом.

– 88 –

С другой стороны, представление категорических суждений в терминах исчисления предикатов кажется естественным и даже позволяющим прояснить некоторые моменты традиционной теории. Силлогистические термины истолковываются при этом как предикаты, «все» и «некоторые» выражаются с помощью кванторов, а отношение принадлежности – с помощью импликации, конъюнкции и отрицания. Четыре основные формы суждений традиционной системы приобретают в случае такого истолкования следующий вид:

(А) «Все а являются в» – (∀x) (S(x) ⊃ Р(х)),

(Е) «Ни одно а не является в» – (∀x) (S(x) ⊃~ Р(х)),

(I) «Некоторые а являются в» – (∃x) (S(x) & P(x)),

(О) «Некоторые а не являются в» – (∃x) (S(x) & ~ Р(х)).

Здесь а и в – переменные термины, х – индивидная переменная, S и Р – предикатные переменные.

Имеются далеко идущие формальные аналогии между логическими отношениями в сфере категорических суждений и логическими отношениями их эквивалентов в логике предикатов.

Например, суждения «Все а являются в» и «Некоторые а не являются в» противоречат друг другу, и точно таким же является отношение между их эквивалентами:

(∀x) (S(x) ⊃ Р(х)) и (Fx) (S(x) & ~ Р(х)).

Используя предложение одной из четырех основных форм, мы иногда предполагаем существование вещей, описываемых (или обозначаемых) субъектом этого предложения, а иногда не делаем такого предложения.

Например, суждение «Все птицы в данной клетке являются канарейками» предполагает наличие птиц в клетке и вряд ли может считаться истинным только на том основании, что в клетке вообще не имеется птиц.

С другой стороны, суждение «Все вечные двигатели не требуют для своей работы подведения энергии извне» является истинным независимо от того, имеются или нет вечные двигатели.

Поэтому для придания традиционной логике точной интерпретации необходимо выяснить относительно ее форм суждений, предполагается ли данной формой существование описываемых субъектом предметов или нет.

– 89 –

В случае частных форм, I и О, выбор обозначен: они содержат в указанной интерпретации квантор существования и утверждают, таким образом, существование вещей, описываемых субъектом. Экзистенциональное истолкование общих суждений, А и Е, может быть выражено или путем принятия особой аксиомы:

(∀S) (∃x) S (x),

утверждающей, что для каждого субъекта S существует такой объект х что х есть S, или добавлением к выражениям суждений А и Е особых приставок, утверждающих существование предметов, описываемых субъектами:

(∃x)S(x).

Однако, несмотря на всю естественность обращения к логике предикатов с целью включения традиционной теории категорических суждений в современную логическую теорию, оно не завершается полным успехом.

Существует перевод категорических суждений на язык исчисления предикатов, при котором все законы традиционной логики сохраняются:

(А) ~ (∃x)(S(x) & ~ Р(х)) & (∃x)S(x) & (Зх) ~ Р(х),

(Е) ~ (∃x)(S(x) & Р(х)) & (∃x)S(x) & (∃х) Р(х),

(I) (∃x)(S(x) & ~ Р(х)) v ~ (∃x)S(x) v ~ (∃х) Р(х),

(О) (∃x)(S(x) & ~ Р(х)) v ~ (∃x)S(x) v ~ (∃х) ~ Р(х).

Однако очевидно несовпадение этих утверждений, опирающихся на допущение единой предметной области, с традиционными суждениями.

Предложение обычного языка «Некоторые а являются в» выражает нечто существенно отличное от того, что выражается предложением, имеющим форму «Существует такой х, что х есть S и х есть Р, или неверно, что существует х, являющийся S, или неверно, что существует х, являющийся Р».

Неадекватность перевода традиционных форм вывода на язык исчисления предикатов склоняет к мысли, что традиционная теория категорических суждений является своеобразной логической системой, Для формализации которой необходим специальный язык. Именно поэтому пути пошел Я.Лукасевич, представивший силлогистику как оригинальную теорию, никак не связанную с логикой предикатов.

– 90 –