Логика категорических высказываний и теория коннексивной импликации

Описанная условная связь является тем, что ранее было названо коннексивной импликацией. Особенностью этой импликации является то, что она удовлетворяет принципам:

~ (р →~ р),

~ (~р → р)

и т.п., аналоги которых неприемлемы в случае материальной, строгой и других импликаций.

– 93 –

В теории строгой импликации, дополненной определением условной связи, содержится теория условной связи (назовем ее системой ConI), определяемая следующим множеством аксиом и правил вывода:

АО. Все тавтологии классического пропозиционального исчисления,

А1. (а → в) & (в → с) ⊃ (а → с),

А2. (а _ в) & a ⊃ в,

A3, (а → в) ⊃ (~ в → ~ а),

А4. (а → в) ⊃ ~ (а → ~ в),

А5. а → ~~ а,

А6. ~~ а → а,

(R1) правило подстановки вместо пропозициональных переменных,

(R2) правило отделения для материальной импликации,

(R3) правило экстенсиональности.

В терминах условной связи можно определить четыре типа категорических суждений:

Аав = _Df(а → в),

Iав = _Df ~Аавʼ, или 1ав = _Df ~ (а → ~ в),

Еав = _Df Аавʼ, или Еав = _Df (а → ~ в),

Оав = _Df ~ Аав, или Оав = _Df ~ (а →в).

Традиционные формы вывода с участием категорических суждений можно разделить на три группы.

– непосредственные выводы;

– выводы, систематизируемые так называемым квадратом противоположностей;

– силлогизмы.

Нетрудно показать, для форм выводов каждой из этих групп, что их условные аналоги являются теориями описанной логической теории условной связи.

Условными аналогами форм непосредственного вывода являются формулы:

(а → ~ в) ⊃ (в ⊃~ а),

~ (а → ~в) → ~ (в → ~ а),

(а → ~ в) ⊃~ (a D ~ в),

(а → ~ в) → ~ (а → в),

(а Гˈ ~в)... (в Гˈ ~~ в),

(а → ~ в) → (а → ~ в),

~ (а → ~ в) ⊃ ~ (а → ~ в),

~ (а → в) → ~ (а →~ ~ в).

– 94 –

Доказуемость их в системе Conl очевидна. Очевидно также, что в последних четырех из них материальная импликация может быть заменена материальной эквивалентностью.

Можно отметить, что аналоги формул:

Аав ⊃ Ава.

Оав ⊃ Ова,

приводимые обычно в качестве примеров необоснованных форм вывода, не являются теоремами системы Conl.

Теория квадрата противоположностей имеет дело с логическими отношениями между категорическими суждениями разных форм, имеющими одни и те же субъекты и предикаты. Условные аналоги законов, систематизируемых квадратом противоположностей, таковы;

(а → в) ≡ ~~ (а → в),

(а → ~ в) ≡ ~~ (а → ~ в),

~ ((а → в) & (а → ~в)),

~ (а → ~ в) v ~(а → в),

(а → в) ⊃ ~ (а → ~ в),

(а → ~ в) ⊃ ~ (а → в).

Доказуемость последних в системе Conl очевидна.

Аристотелевская силлогистика является теорией констант А, I, Е и О в поле непустых и неотрицательных общих терминов.

Согласно современным исследованиям в качестве аргументов силлогистики могут использоваться также отрицательные термины.

Шестнадцать основных форм выводов силлогистики с отрицательными терминами систематизируются следующей таблицей:

	Авс	Евc	Iвс	Овс	Ав'с	Ев'с	Iв'с	Ов'с
Аав	Аас	Еас			Ia'c	Оа'с	Ia'c	Оа'с
Еав	Ia'c	Оа'с	Ia'c	Оа'с	Еас	Еас
Iав	Iac	Оас
Оав					Iac	Оас

Производные формы выводов могут быть получены с помощью обычной подстановки. Условные аналоги этих форм легко доказуемы в системе Conl.

– 95 –