Категорические высказывания и условные высказывания

Мы покажем далее, что в исчислении высказываний, содержащем наряду с понятием логического следования понятие условной связи, могут быть доказаны аналоги всех обоснованных форм вывода второй из указанных частей традиционной логики – логики категорических высказываний.

Поскольку формулируемое исчисление высказываний включает и те элементы логики высказываний, которые описывались традиционной логикой, то оказывается, что вся традиционная логика может рассматриваться как часть исчисления высказываний.

Этим не отвергается, конечно, идея, что для выявления своеобразия традиционной теории категорических суждений нужен особый язык.

Принято считать, что в языке исчисления высказываний не может быть выражена внутренняя логическая структура высказываний, играющая определяющую роль в традиционных выводах.

Отметим в связи с этим следующее. Категорическому суждению типа А может быть поставлено в соответствие условное высказывание «Если х есть а, то х есть в».

Например, общее суждение «Каждый металл пластичен» может быть выражено высказыванием «Если х есть металл, то х пластичен». Употребление переменных в условном высказывании вызывается тем, что в категорическом суждении слово «металл» обозначает какой-то предмет из класса металлов и является в силу этого переменной особого рода – переменной с указанной предметной областью. Вместо переменной х в условном высказывании можно использовать такие слова, как «нечто», «предмет», или выражение «некоторый предмет» («Если нечто есть металл, то оно пластично» или «Если некоторый предмет является металлом, он пластичен»). Если мы уверены в истинности общего суждения «Каждый человек смертен», мы уверены также и в истинности всех его частных применений, то есть всех суждений, получающихся из этого суждения заменой выражения «каждый человек» именем некоторого человека. Аналогично обстоит дело и в случае условного суждения: уверенность в истинности суждения «Если нечто есть человек, то оно смертно» есть одновременно уверенность в истинности всех высказываний, получаемых из данного заменой выражения «нечто» именем некоторого конкретного человека.

В дальнейшем категорическое суждение «Все а есть в» будем для простоты соотносить с условным высказыванием «Если а, то в».

– 91 –

В случаях, когда условное высказывание будет сопоставляться с категорическим суждением, это условное высказывание будем называть условным аналогом данногокатегорического суждения.

Переменные а, в, с и т.д., входящие в условные аналоги, могут мыслиться определенными над выражениями типа «х есть а», «х есть в» и т. д.; а' будет означать отрицание (дополнение) переменной а, а" – двойное отрицание а.

В терминах общеутвердительного суждения и отрицания могут быть определены суждения типов I, E и О:

«Некоторые а являются в» означает то же, что и «Неверно, что все а являются не-в»,

«Все а не являются в» означает то же, что и «Все а являются не-в»,

«Некоторые а не являются в» означает то же, что и «Неверно, что все а являются в».

Общеутвердительное суждение может быть определено в терминах условного высказывания. Это означает, что категорические суждения всех четырех типов определимы в терминах «если, то» и отрицания.

Используемая в этих определениях связь «если, то» не может быть отождествлена с материальной импликацией.

Истинность условного высказывания не является в общем случае функцией истинности высказываний, соединяемых связкой «если, то». Эта связь не может также отождествляться с логическим следованием. Точный характер условной связи остается пока недостаточно ясным.

Для наших целей достаточно описание условной связи, данное в свое время П.Ф. Стросоном в качестве характеристики «главного», или «стандартного» ее употребления в естественном языке.

Утверждение формы

a ⊃ в

а материально имплицирует в) не влечет утверждение формы

а → в

(если а, то в), что свидетельствуете различиях, имеющихся между связками ⊃ и →.

Но а → в влечет a ⊃ в, и поэтому естественно ожидать определенного параллелизма в свойствах этих знаков, ибо все, что влечется высказыванием a ⊃ в, будет влечься и высказыванием а → в в силу транзитивности следования.

– 92 –

Эти параллели между ⊃ и → выражаются в выполнении для → законов:

(а → в) & а влечет в;

(а → в) & ~ в влечет ~ а;

(а → в) влечет (~ в →~ а);

(а → в) & (в → с) влечет (а _ с):

а также в провале таких форм вывода, как:

(а → в) & в, следовательно, а;

(а → в) & ~ а, следовательно. ~ в.

В качестве примера закона, выполняющегося для →, но не для ⊃, Стросон приводит формулу:

~((а → в) & (а →~в).

Так охарактеризованная условная связь → может быть определена в терминах строгой импликации (⇒):

а → в= _Df(a⇒в)&~(a⇒ ~ a).

Используя определение строгой импликации как логически необходимой материальной импликации:

а ⇒ в = _Df L(a⊃в)&~L~a.

определению условной связи можно придать вид:

а → в = _Df L(a ⊃ в) & ~ L ~ а.

Таким образом, условная связь в принятой ее трактовке представляет собой строгую импликацию с возможным антецедентом.