Алгебраические операции

Алгебраическое произведение нечетких множеств A и B обозначается к определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

 

Для операций ∙, выполняются следующие свойства:

1) (коммутативность);

2)

(ассоциативность);

3)

4) , (теоремы де Моргана).

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств следующие свойства, вообще говоря, не выполняются:

1) (идемпотентность);

2) (дистрибутивность);

3) .

При совместном использовании операций выполняются следующие свойства:

1)

2)

3)

4)

Умножение на число. Если α — положительное число такое, что

, то нечеткое множество имеет функцию принад­лежности

Дизъюнктивная сумма:

с функцией принадлежности

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть нечеткие помножества универсального множества E, а неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Тогда выпуклой комбинацией называется нечеткое множество A с функцией принадлежности

Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть — нечеткие подмножества универсальных множеств соответственно. Декартовым или прямым произведением называется нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечетко­сти нечеткого множества.

Пусть A — нечеткое множество, E — универсальное множество, и для всех элементов определены нечеткие множества . Совокупность всех множеств называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида

где — произведение числа на нечеткое множество.

Пример

7. Пусть

Тогда

 

Четкое множество α-уровня (или уровня α;)

Множеством α-уровня нечеткого подмножества A универсального множества E называется четкое подмножество универсального множества E, определяемое в виде где