Примеры. 1. Рассмотрим множество Uвсех действительных чисел от 0 до 10, которое назовем универсальным

1. Рассмотрим множество Uвсех действительных чисел от 0 до 10, которое назовем универсальным. Определим подмножество Aмножества Uвсех действительных чисел от 5 до 8:

 

 

Рис. 1 - Характеристическая функция множества А

 

Рассмотрим характеристическую функцию множества A, эта функция ставит в соответствие число 1 или 0 каждому элементу из II в зависимости от того, принадлежит данный элемент подмножеству A или нет. Ее график представлен на рис. 1.

Элементы, которым поставлено в соответствие число 1, можно интерпретировать как элементы, принадлежащие множеству A, а элементы, которым поставлено в соответствие число 0, как элементы, не принаде-жащие множеству A.

Эта концепция используется во многих областях приложений. Но можно легко обнаружить ситуации, в которых данной концепции будет недоставать гибкости.

2. В данном примере опишем множество молодых людей, которое формально можно записать так:

Так как вообще возраст начинается с 0, то нижний предел этого множества должен быть нулем. Верхний предел определить немного сложнее. На первый раз установим верхний предел, скажем, равным 20 годам. Таким образом, получаем B как четко ограниченный интервал, буквально:

.

Возникает вопрос: почему кто-то в свой двадцатилетний юбилей — молодой, а сразу на следующий день уже не молодой? Очевидно, это структурная проблема, и если передвинуть верхнюю границу в произвольную точку, то можно задаться точно таким же вопросом.

Более естественный путь получения множества В состоит в ослаблении строгого разделения на молодых и не молодых. Сделаем это, вынося не только (четкие) суждения «Да, он/она принадлежит множеству молодых людей» или «Нет, он/она не принадлежит множеству молодых людей», но и более гибкие формулировки: «Да, он/она принадлежит к достаточно молодым людям» или «Нет, он/она не очень молод/молода».

Далее рассмотрим, как с помощью нечеткого множества определить такое выражение, как «он/она еще молод/молода».

В первом примере мы кодировали все элементы универсума рассуждения с помощью чисел 0 или 1. Простой способ обобщить данную концепцию — ввести значения между 0 и 1. Реально можно даже допустить бесконечное число значений между 0 и 1, называемое единичным интервалом

 

Рис. 2. Характеристическая функция множества молодых людей

 

Интерпретация чисел при соотнесении всех элементов универсума рассуждений становится теперь более сложной. Конечно, снова число 1 ставится в соответствие (соотносится) тому элементу, который принадлежит множеству B, а 0 означает, что элемент точно не принадлежит множеству B. Все другие значения определяют степень принадлежности ко множеству B.

Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей, как и в первом примере (рис. 2). Согласно ее графику, 25-летние все еще молоды со степенью уверенности 50 процентов.

 

Более строгое представление о нечетких множествах

Пусть E — универсальное (universal) или несущее множество, x — элемент E, а K — некоторое свойство. Определим для несущего множества E обычное (четкое) подмножество A, элементы которого удовлетворяют свойству R, как множество упорядоченных пар

где — характеристическая функция, принимающая значение 1, если элемент x удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из множества E нет однозначного ответа «да—нет» относительно свойства K. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар с характеристической функцией принадлежности. принимающей значения в некотором вполне упорядоченном множестве M, например,

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называется множеством принадлежности. Если , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пример

3. Пусть имеется обычное множество

и пусть задано A — нечеткое множество, для которого

Тогда нечеткое множество A можно представить в виде

или

где знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

 

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть и A — нечеткое множество с элементами из универсального (несущего) множества E и множеством принадлежности M.

Тогда высотой нечеткого множества называется верхняя граница значений его функции принадлежности:

Нормальным называется нечеткое множество, высота которого равна

1. Если высота меньше 1, нечеткое множество называется субнормальным.

Говорят, что нечеткое множество пусто, если .

Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

.

Нечеткое множество является унимодальным, если только на одном элементе x из универсального множества E.

Носителем нечеткого множества A(обозначается как supp A)является обычное подмножество со свойством , т. е. supp

Элементы , для которых , называются точками пере­хода множества A.

Примеры нечетких множеств и их характеристик

 

Рассмотрим примеры нечетких множеств.