Логические операции

Включение. Пусть A и B — нечеткие множества на универсаль­ном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если

 

(1)

 

Обозначение:

Например, если A — множество чисел, очень близких к 10, а B — мно­жество чисел, близких к 10, то Формально это можно проверить, используя функции принадлежности. Если A и B — обычные множества, а и — характеристические функции, то из неравенства (1) следует, что если некоторый элемент x принадлежит множеству A, т. е. , то он принадлежит и множеству B, поскольку .

Иногда используют термин доминирование, т. е. в случае, когда говорят, что B доминирует A.

Множества A и Bравны, если . Обозначение: A = B.

Объединение. Объединением нечетких множеств A и B называется нечеткое множество, обозначаемое функция принадлежности которого определяется следующим образом:

Иначе говоря, объединением называется наименьшее нечеткое подмножество, включающее как A, так и B.

 

Рис. 5. - Операции с нечеткими множествами: а) подмножество и дополнение нечеткого множества; б) разность нечетких множеств; в) объединение нечетких множеств; г) пересечение нечетких множеств

 

Пересечение. Пересечением называется наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в множествах A и B:

(2)

Дополнение. Дополнение нечеткого множества A имеет функцию принадлежности Обозначение: или

Это определение можно сформулировать иначе. Пусть A и B — нечеткие множества, заданные на E. Множество A и B дополняют друг друга, если

Очевидно, что .

Разность. Разностью называют множество с функ­цией принадлежности

На рис. 5 проиллюстрированы данные выше определения. Опера­ции над нечеткими множествами можно проиллюстрировать и так, как показано на рис. 6.

Введенные операции над нечеткими множествами основаны на ис­пользовании операций max и min. В теории нечетких множеств разра­батываются вопросы построения обобщенных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок И, ИЛИ, НЕ.

 

Рис. 6. Графическая интерпретация логических операций: а) нечеткое множество А; б) нечеткое множество А; в) А л А; г) А у А

 

Для операций пересечения и объединения выполняются следующие свойства (A, B, C - нечеткие множества; - Ø – пустое множество, т.е. E - универсальное множество):

1) (коммутативность);

2)

(ассоциативность);

3) (идемпотентность);

4)

(дистрибутивность)

5)

6)

7)

8)

9) (теоремы де Моргана).

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае имеем:

,