Основные теоретические положения. Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и ёмкостные элементы, при котором её входное сопротивление (входная проводимость)

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и ёмкостные элементы, при котором её входное сопротивление (входная проводимость) вещественно (т. е. имеет только активную составляющую). Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

В электрических цепях различают два вида резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении L и C элементов) и резонанс токов (при параллельном соединении L и C элементов).

В настоящей лабораторной работе исследуется неразветвлённая электрическая цепь, состоящая из последовательно соединённых катушки индуктивности и конденсатора, подключенная к источнику синусоидального тока. Схема цепи представлена на рисунке 5.1.

Реальная катушка индуктивности обладает кроме индуктивного сопротивления Х_L ещё и активным сопротивлением R (активное сопротивление проводника, из которого выполняются витки катушки), которое существенно влияет на протекающие в цепи процессы. Поэтому целесообразно реальную цепь представить в виде схемы замещения (рис. 5.1), где катушка индуктивности рассматривается как последовательное соединение идеального резистивного элемента с активным сопротивлением R и идеального индуктивного элемента с индуктивностью L.

В реальном конденсаторе, как и в катушке, наблюдаются потери активной энергии, однако они настолько малы, что ими обычно пренебрегают, поэтому конденсатор на схемах представляется в виде идеального ёмкостного элемента с ёмкостью C (рис. 5.1).

Полное сопротивление цепи, представленной на рисунке 5.1, можно найти по закону Ома:

,

где: U и I – действующие значения напряжения и тока цепи.

Общее сопротивление цепи, состоящей из последовательного соединения R, L и C элементов, должно являться суммой сопротивлений этих элементов. Однако, поскольку сопротивления R, L и C элементов определяются различными факторами (соответственно электрическим сопротивлением металла и сопротивлениями движению тока, обусловленными магнитным и электрическим полями), введено понятие комплексного сопротивления , представляющего общее сопротивление R, L и C элементов в виде комплексного числа. При этом активное сопротивление R рассматривается в качестве вещественной части данного комплексного сопротивления, а реактивное сопротивление X, определяемое разницей индуктивного X_L и ёмкостного X_C сопротивлений (X = X_L – X_C), – в качестве мнимой части:

.

Это позволяет активное и реактивное сопротивления рассматривать как две качественно разные части одного целого: R и X откладываются по различным осям на комплексной плоскости, благодаря чему они складываются не как скаляры, а как вектора. Величины реактивных сопротивлений X_L и X_C откладываются по мнимой оси в противоположных направлениях. Вектор тока при построении векторной диаграммы на комплексной плоскости для последовательной цепи, как правило, откладывается по действительной оси, а вектора напряжений на индуктивном и ёмкостном элементах при их углах к току φ _L = +90° и φ _C = –90° соответственно – в положительном и отрицательном направлениях мнимой оси соответственно. По этой причине и реактивные сопротивления X_L и X_C, обуславливающие указанные напряжения, откладываются в положительном и отрицательном направлениях мнимой оси соответственно.

В связи с вышесказанным полное сопротивление рассматриваемой цепи (рис. 5.1), выражается через параметры своих элементов (R, L, C) следующим образом:

,

где: R, , – активное, индуктивное и ёмкостное сопротивления соответственно, ω=2∙π· f – угловая частота тока, f – частота тока в цепи. Соотношения активного, реактивного и полного сопротивлений характеризуются треугольником сопротивлений (рис. 5.2), откуда вытекают следующие зависимости:

Полное напряжение цепи, изображённой на рисунке 5.1, определяется (аналогично полному сопротивлению) векторной суммой напряжений последовательно соединённых элементов (по второму закону Кирхгофа):

.

Величины , , и связаны между собой, как стороны треугольника напряжений (рис. 5.3), подобного треугольнику сопротивлений. Треугольник напряжений получается из треугольника сопротивлений, домножением сторон последнего на ток I. Вектор напряжения на резистивном элементе (активная составляющая ) совпадает по направлению с вектором тока , вектор напряжения на индуктивном элементе (индуктивная составляющая ) опережает вектор тока на 90°, а вектор напряжения на ёмкостном элементе (ёмкостная составляющая ) отстаёт от вектора тока на 90°. Из векторной диаграммы напряжений и тока (рис. 5.3) следует:

Домножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока или домножив стороны треугольника напряжений на ток, можно получить треугольник мощностей (рис. 5.4).

Для полной S, активной P и реактивной Q мощностей справедливы следующие соотношения:

В электрической цепи (рис. 5.1) возможны три различных соотношения параметров Х_L и Х_C:

а) Х_L > Х_C, тогда U_L > U_C, вектор опережает вектор на угол φ, цепь носит индуктивный характер (рис. 5.5–а);

б) Х_L < Х_C, тогда U_L < U_C, вектор отстаёт от вектора на угол φ, цепь носит ёмкостный характер (рис. 5.5–б);

в) Х_L = Х_C, тогда U_L = U_C, вектор совпадает по направлению с вектором (φ=0), цепь работает в режиме резонанса и носит активный характер (рис. 5.5–в).

Режим работы последовательной цепи синусоидального тока, при котором ток и общее напряжение цепи совпадают по фазе, что соответствует совпадению по направлению векторов и на векторной диаграмме, называется резонансом напряжений.

Так как в режиме резонанса реактивное сопротивление всей цепи равно нулю (X = X_L – X_C =0), то и реактивные составляющие всех величин на входе цепи (напряжения, мощности) тоже равны нулю.

Условием резонанса является равенство индуктивного и ёмкостного сопротивлений

или ,

откуда следует, что резонанс наступает при частоте

.

Таким образом, резонанс в цепи может быть получен за счёт изменения одного из следующих параметров: индуктивности катушки L, ёмкости конденсатора C или частоты питающего напряжения f (ω=2∙π· f). В данной работе резонанс напряжений достигается с помощью изменения ёмкости конденсатора.

Так как режим резонанса наступает при X =0, полное сопротивление цепи с последовательным соединением L и C элементов в этот момент достигает наименьшего значения Z_рез. = R, что приводит к существенному возрастанию тока, который достигает максимального значения I_рез:

При резонансе напряжений одновременно с ростом тока в цепи увеличиваются и напряжения на индуктивном и ёмкостном элементах (U_L = I ∙ X_L, U_C = I ∙ X_C), которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Напряжения U_L и U_C имеют одинаковые действующие значения и противоположны по фазе, т. е. на векторной диаграмме векторы и имеют равную длину и направлены в противоположные стороны.

В режиме резонанса коэффициент мощности цепи cos(φ)= P / S, показывающий какую часть от полной мощности составляет активная, достигает максимального значения. Это происходит по причине того, что реактивные мощности на индуктивном и ёмкостном элементах равны (Q_L = Q_C), из чего следует равенство нулю реактивной мощности цепи (Q = Q_L – Q_C =0) и равенство полной и активной мощностей S_рез. = P.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией (реактивной) между магнитным полем индуктивной катушки и электрическим полем конденсатора, причём сумма энергий полей остается постоянной (источник питания цепи в этом обмене реактивной энергией не участвует).

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако если резонанс возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.