Общая постановка задачи исследования операции.

В дальнейшем важно усвоить методологию построения моделей задач исследования операций. Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

• постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не можем. Обозначим их через а₁, а₂,...a_n;

• зависимые факторы (элементы решения) х₁, х₂,...x_n; которые в известных пределах мы можем выбирать по своему усмотрению.

Например, в задаче об использовании ресурсов к постоянным факторам следует отнести запасы ресурсов каждого вида, производственную матрицу, элементы которой определяют расход сырья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого вида. Элементы решения — план выпуска продукции каждого вида.

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевую функцию Z можно записать в виде

Z = F(x₁,x₂,…,x_n, a₁,a₂,…,a_n).

 

Все модели исследования операций могут быть классифицированы в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов.

Следует отметить прежде всего большой класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономическими системами. Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные х₁, х₂,..., х_n, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

переменных при некоторых ограничениях, т.е. задачей на условный экстремум.

В тех случаях, когда функции Ф_i и Z хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации. Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограниченно, так как задача определения условного экстремума функции п переменных технически весьма трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким — тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В этих случаях для решения задачи (0.1)—(0.2) применяются методы, математического программирования.

Если критерий эффективности Z = F(x₁, х₂,..., х_n) (0.2) представляет линейную функцию, а функции Ф_i (x₁, х₂,..., х_n) в системе ограничений (0.1) также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности (0.2) выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно — через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Если критерий эффективности (0.2) и система ограничений (0.1) задаются функциями вида сx₁^a1x₂^a2...x_n^{an ,} то имеем задачу геометрического программирования. Если функции в выражениях (0.1) и (0.2) зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования, если эти функции носят случайный характер, — задачу стохастического программирования. Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа вариантов решения, то прибегают к методам эвристического программирования, позволяющим существенно сократить просматриваемое число вариантов и найти если не оптимальное, то достаточно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, решение.

Из перечисленных методов математического программирования наиболее распространенным и разработанным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

По своей содержательной постановке множество других, типичных задач исследования операций может быть разбито на ряд классов.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стои­мости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения состоят в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.

Среди моделей исследования операций особо выделяются модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр. К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики, права, военного дела и т. п. В задачах теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные стратегии.

В пособии нашли отражение основные из приведенных видов задач исследования операций.

На практике в большинстве случаев успех операции оценивается не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из которых следует максимизировать, другие — минимизировать. Математический аппарат может принести пользу и в случаях многокритериальных задач исследования операции, по крайней мере, помочь отбросить заведомо неудачные варианты решений.

Для того чтобы из множества критериев, в том числе и противоречащих друг другу (например, прибыль и расход), выбрать целевую функцию, необходимо установить приоритет критериев. Обозначим F₁(x), F₂(х),..., F_n(x) (здесь х — условный аргумент). Пусть они расположены в порядке убывания приоритетов. В зависимости от определенных условий возможны в основном два варианта:

• в качестве целевой функции выбирается критерий f₁(x), обладающий наиболее высоким приоритетом;

•рассматривается комбинация

В условиях определенности _i — числа, F₁(x) — функция. В условиях неопределенности F(х) могут оказаться случайными и вместо F(х) в качестве целевой функции следует рассматривать математическое ожидание суммы (0.6).

Попытка сведения многокритериальной задачи к задаче с одним критерием эффективности (целевой функцией) в большинстве случаев не дает удовлетворительных результатов. Другой подход состоит в отбрасывании (выбраковке) из множества допустимых решений заведомо неудачных решений, уступающих другим по всем критериям. В результате такой процедуры остаются так называемые эффективные (или Паретовские)решения, множество которых обычно существенно меньше исходного. А окончательный выбор «компромиссного» решения (не оптимального по всем критериям, которого, как правило, не существует, а приемлемого по этим критериям) остается за человеком — лицом, принимающим решение.

Модели классифицируются по месту объекта моделирования в иерархии управления. Это могут быть модели в масштабе страны, региона, отрасли, организации и т.д. до отдельного элемента организации. Модели также могут различаться по моделируемым процессам: производство товаров или услуг, информация, сбыт, движение материалов, оборудования и т. д.

По характеру учета времени модели разделяются на: динамические, где процессы рассматриваются во времени; статические, когда моделируются процессы в фиксированный момент времени; кинематические, где изменение процесса (организации) во времени рассматривается при упрощающих допущениях. Динамические модели являются наиболее сложными с точки зрения их построения и анализа.

По числу этапов модели могут быть многоэтапными (динамические модели, в которых непрерывный процесс разбит на ряд этапов) и одноэтапными (статические модели).

По форме математического описания модели разделяются на две большие группы: учитывающие случайные процессы (стохастические) и не учитывающие элементы случайности (детерминированные), которые значительно проще первых и представляют собой дифференциальные уравнения и логические правила. Стохастические модели, в свою очередь, включают в себя модели динамики средних, вероятностные (дискретные и непрерывные) и статистические модели.

Математическое моделирование в социально-экономической области подчас выступает единственной возможностью количественного анализа процессов и явлений, так как натурный эксперимент либо невозможен, либо ограничен.

Положительными характеристиками моделирования также являются:

· применение более совершенной технологии расчета в сравнении и иными методами;

· высокая степень обоснованности решений;

· сокращение сроков разработки решений;

· возможность выполнения обратной операции. Ее особенность состоит в том, что имея модель и исходные данные, можно рассчитать результат. Но можно сориентироваться на требуемый результат и определить, какие исходные данные для этого необходимы. В управленческой деятельности эта возможность чрезвычайно важна. Так, например, ориентируясь на получение прибыли в объеме N, можно установить и количественные значения других показателей, прямо и косвенно влияющих на достижение планируемого результата (получение новых знаний о ситуации (объекте), отсутствующих ранее; формулировку выводов, которые невозможно получить при самых содержательных логических рассуждениях.

 

Для углубления представлений о многообразии подходов к характеристике процесса математического моделирования приведем еще один. В частности, в содержание математического моделирования включаются такие этапы, как:

1) постановка задачи;

2) разработка формализованной схемы;

3) формализация задачи в общем виде;

4) численное представление модели.

При постановке задачи выявляются закономерности процесса в теоретическом и практическом планах, его структура, условия и факторы формирования.

Формализованная схема разрабатывается на основе вышеуказанных данных. Она менее строго, чем математическая модель, описывает моделируемый процесс (явление). В схеме называются конкретные показатели, относящиеся к характеристике объекта управления. Это могут быть искомые величины, параметры процесса, факторы и условия, которые непременно учитываются при выполнении расчетов. Существующие зависимости между показателями отображаются математическими символами, как функции без указания точной формы связи.

Она может иметь вид:

 

 

В общем виде задача представляется на основе формализованной схемы. Однако существующие зависимости конкретизируются. Далее составляющие модель элементы приобретают количественное выражение, модель проверяется и в случае необходимости уточняется. На базе использования вычислительной техники просчитывается эффективность имеющихся вариантов по заданному критерию оценки, и на этой основе определяется оптимальный вариант решения задачи.

При построении математической модели выполняются такие виды работ, как:

· составление перечня всех элементов системы, влияющих на эффективность ее функционирования. Если в качестве меры эффективности принимаются издержки обращения, то составляется весь их перечень по элементам: зарплата основная и дополнительная, транспортные расходы, проценты за кредит, расходы по рекламе и т.д.;

· рассмотрение степени влияния каждого из элементов перечня на функционирование организации при различных вари­антах решений;

· элементы, не влияющие на выбор вариантов решений или влияющие незначительно, исключаются из перечня и не учиты­ваются при построении модели;

· чтобы упростить модель следует предварительно, по возможности, сгруппировать некоторые взаимосвязанные элементы (например, расходы по аренде, содержанию помещений и др. объединить в условно-постоянные расходы);

· после уточнения перечня элементов определяется их постоянный или переменный характер влияния на систему. В составе переменных элементов устанавливаются, в свою очередь, подэлементы системы, влияющие на их величину. Например, транспортные расходы зависят от объема перемещенных товаров, расстояния, стоимости горючего и др.;

· за каждым подэлементом закрепляется определенный символ и далее составляется уравнение или система уравнений.

Операционные модели решений имеют вид уравнения или системы уравнений. Они могут быть сложными, с математической точки зрения, но структура их достаточно проста. Например, часто используемые операционные модели имеют вид:

E = F(x_i, y_i),

где E – означает меру общей эффективности;

F – функция, задающая соотношение между E, x_i, y_i;

x_i – управляемые переменные, определяющие поведение системы;

y_i – неуправляемые переменные, определяющие поведение системы;

 

Управляемыми переменными х_i, как уже отмечалось, являются факторы, на которые может оказывать влияние руководитель предприятия. К ним относятся: численность работников, количество оборудования, используемые технологии производства продукции и др. Некоторые управляемые переменные могут иметь ограничения, и это следует учитывать в ходе построения модели. После установления перечня переменных факторов определяется значимость каждого из них.

Неуправляемыми переменными у_i считаются факторы, на влияние которых руководитель не может воздействовать. Это действия потребителей, поставщиков, установки государственных органов и др.

Оптимальное решение по данной модели определяется путем поиска значений управляемых факторов х_i, при которых мера общей эффективности E будет максимальной (либо минимальной, если в качестве меры эффективности принят показатель затрат на производство, потери).