Свободные затухающие колебания в контуре.

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на ёмкости, индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:

преобразовав, получим:

учитывая и введя обозначение называемое коэффициентом затухания, уравнение будет иметь следующий вид:

(3)

При условии, что т.е. , тогда решение уравнения (3) будет следующее:

где .

Подставляя известные значения для и находим, что

Т.о. частота затухающих колебаний меньше собственной частоты . При R=0 выражение для частоты затухающих колебаний переходит в выражение для собственной частоты.

Напряжение на конденсаторе:

Выражение для силы тока получим, продифференцировав по времени функцию для заряда:

Умножим и разделим это выражение на

Введя угол определяемым условиями:

, .

Вспомнив тригонометрическую формулу: .

Можно записать

Поскольку и , то .

Чем больше омическое сопротивление контура, тем быстрее затухают колебания. Скорость затухания колебаний определяет коэффициент затухания и связанный с ним логарифмический декремент затухания

Период колебаний в реальном контуре будет определяться по формуле:

Из выражений и следует, что если то циклическая частота будет равна нулю, а период колебаний становится бесконечно большим. Это означает, что если активное сопротивление контура

то колебания в нем не возникают.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс в нем переходит в непериодический, называют критическим

Величину называют волновым сопротивлением контура, а отношение волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению – добротностью контура Q, т. е.

.

Чем выше добротность контура, тем медленнее в нем затухают электромагнитные колебания.