Пример 1. Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2

 

Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид

 

 

			* 106 Н/м2
6

 

 

Рисунок 2.Трехосное напряженное состояние элемента тела.

 

 

Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений. Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом итерации Ниже приведена программа для ЭВМ, с помощью которой итерационная процедура осуществляется до тех пор, пока разность между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы — GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу.

 

{**********************************************************************}

 

Программа определения собственных значений Программа позволяет определить наибольшее главное напряжение (собственное значение) для данного трехосного напряженного состояния. Применяется метод итераций. Счет прекращается, когда изменение собственного значения становится менее 0,01 процента или число итераций превышает 50.

 

{**********************************************************************}

DIMENSION S(3,3),X(3),R(3)

S(1,1) = 10.E06

S(1,2) = 5.ЕО6

S(2,1) = S(1,2)

S(1,3) = 6.E06

S(3,1) = S(1,3)

S(2,2) = 20.E06

S (2,3) = 4.E06

S(3,2) = S(2,3)

S(3,3) = З0.Е06

X(1) = 1.

Х(2) = 0.0

Х(3) = 0.0

XOLD = 0.0

I = 0

 

WRITE(6 100)

WRITE(6 101)

WRITE(6 102)

WRITE(6 100)

WRITE(6 104) I,X(1),X(2),X(3)

DO 1 1=1,50

CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1)

DO 2 J=1,3

 

2 X(J) = R(J)

CALL NORML(XLAM,X)

WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3)

IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

 

1 XOLD = XLAM

3 WRITE(6,100)

 

100 FORMAT (1X 54C'-''))

101 FORMAT (2X ‘ITERATION’, ЗХ ‘ITERATION’, 11X,‘EIGENVECTOR')

102 FORMAT (3X 'NUMBER", 6X,'(N/M**2)’, 5X, ‘X(1)’,

6X,'X(2)',6X,’X(3)’)

103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)

104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

 

{**********************************************************************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)

{**********************************************************************}

Подпрограмма norml.

Эта подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

 

# FIND THE LARGEST ELEMENT

 

XBIG = X(1)

IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)

IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

 

# Нормирование по XBIG

X(l) = X(1)/XBIG

X(2) = X(2)/XBIG

X(3) = X(3)/XBIG

XL = XBIG

RETURN

END

{**********************************************************************}

Результат работы программы получаем в виде:

 

Номер Итерации	Собственное Значение (N / M ** 2)	Собственный вектор
X (1)	X (2)	X (3)
0.		1.00000	0.	0.
1.	0.10000 Е 08	1,00000	0.50000	0.60000
2.	0.26000Е 08	0.61923	0.66923	1.00000
3.	0.36392Е 08	0.42697	0.56278	1.00000
4.	0.34813Е 08	0.37583	0.49954	1.00000
5.	0.34253Е 08	0.35781	0.46331	1.00000
6.	0.34000Е 08	0.34984	0.44280	1.00000
7.	0.33870Е 08	0.34580	0.43121	1.00000
8.	0.33800Е 08	0.34362	0.42466	1.00000
9.	0.33760Е 08	0,34240	0.42094	1.00000
10.	0.33738Е 08	0.34171	0.41884	1.00000
11.	0.33726Е 08	0.34132	0.41765	1.00000
12.	0.33719Е 08	0,34110	0.41697	1.00000
13.	0.33714Е 08	0.34093	0.41658	1.00000
14.	0.33712Е 08	0.34091	0.41636	1.00000

 

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.