НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

 

В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:

A X = l X,

где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скаляр­ных значений l и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.

Основные определения матричного исчисления

 

1. Матрица A называется симметричной, если

а_ij = а_ij, где i, j = 1, 2,..., n.

Отсюда следует симметрия относительно диагонали

а_kk, где k == 1, 2,..., n.

Матрица

 

 

является примером симметричной.

 

2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диа­гоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матри­ца имеет вид

 

*	*
*	*	*
	*	*	*
	.	.	.	.	.	.
					*	*	*
						*	*	*
							*	*

 

 

Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.

 

 

3. Матрица A называется ортогональной, если

А^ТА = Е,

где А^т—транспонированная матрица A, а Е—единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквива­лентна транспонированной.

 

 

4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение

В = Р^-1АР.