Основные свойства собственных значений.

 

1. Все п собственных значений симметричной матрицы раз­мерности пХп, состоящей из действительных чисел, действи­тельные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.

 

2. Если собственные значения матрицы различны, то ее соб­ственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно неза­висимых собственных векторов образует базис рассматривае­мого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов

X ⁱ, где i == 1,..., n,

любой произвольный вектор в том же пространстве можно выра­зить через собственные векторы. Таким образом,

 

n

Y = S a_iXⁱ.

i=1

 

3. Если две матрицы подобны, то их собственные значения сов­падают. Из подобия матриц A и В следует, что

В = Р^-1АР.

 

Так как

А Х = l Х,

то

Р^-1АХ = lР^-1Х.

Если принять Х == Р Y, то

Р^-1АР Y = l Y,

а

В Y == l Y.

 

Таким образом, матрицы A и В не только имеют одинаковые собственные значения, но и их собственные векторы связаны соот­ношением

Х = Р Y.

4. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Обычно все собственные векторы нормируют, разделив каждый элемент собственного вектора либо на его наибольший элемент, либо на сумму квадра­тов всех других элементов.