Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение. 1. Определение степени статической неопределимости




1. Определение степени статической неопределимости

Используя зависимость (14.1) подсчита­ем степень статической неопределимости системы. Количество опорных стержней m =5, количество уравнений равновесия n = 3 ® , следовательно, система дважды ста­тически неопределима, или, другими словами, имеет две лишние связи.

2. Выбор основной системы

Известно, что основная система определяется из заданной путем отбрасывания лишних связей и приложением соответст­вующих усилий, возникающих в отброшенных связях в заданной системе. При этом основная система должна быть статически определимой и геометрически неизме­няемой.

Рис. 17

 

Сравнивая три варианта основных систем (рис.17, б -17, г) приходим к выводу, что наиболее целесообразно в качестве основной системы вы­брать I-ый вариант (рис. 17, б), так как в этом случае:

- не требуется предварительное вычисление опорных реакций;

- эпюры изгибающих моментов, построенные в этой схеме от воздействия на нее каждого из усилий Х1 = 1, Х2 = 1, Р и q, будут распространены на меньшем количестве участков системы и пред­ставлены простейшими геометрическими фигурами. Это значи­тельно облегчает процесс определения коэффициентов канониче­ских уравнений.

3. Составление системы канонических уравнений

Канонические уравнения, необходимые для решения стати­чески неопределимых задач, представляют собой уравнения сов­местности деформаций. Число их всегда равно степени статической неопределимости. Физический смысл каждого из канонических уравнений, как было указано выше, состоит в том, что суммарное перемещение по направлению усилий Xi от всех действующих в основной системе силовых факторов, включая и неизвестные, рав­но 0, так как в действительности в этих направлениях стоят связи, препятствующие возникновению перемещений по направлению этих неизвестных.

Для рассматриваемого случая канонические уравнения имеют вид:

(14.16)

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Так как все коэффициенты канонических уравнений представ­ляют собой перемещения, то для их вычисления вначале строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе. Затем по формуле Мора с применением готовых формул (см. табл.6.1) или правила Верещагина с использованием табл.14.2 определим их значения.

Эпюры изгибающих моментов, построенные в основной систе­ме от воздействия на нее каждого в отдельности усилия X1 = 1; X2 = 1; P и q, показаны на рис. 17, д - 17, з.

Исходя из единичных и грузовых эпюр определяем коэффици­енты канонических уравнений:

5. Проверка правильности подсчета коэффициентов

Правильность расчета коэффициентов канонических уравнений осуществляется путем универсальных проверок, при этом должны выполняться следующие условия:

где - сумма всех найденных главных и побочных коэффици­ентов:

;

- величина, полученная в результате умножения единичной сум­марной эпюры на себя:

;

- величина, определяемая сложением значений, полученных в результате умножения эпюры на эпюру MP и эпюры на эпю­ру Mq; k - количество участков эпюры.

Эпюра (рис. 17, и) строится в основной системе от одновре­менного воздействия на нее всех неизвестных единичных усилий (X1 = 1; X2 = 1), т.е. путем сложения единичных эпюр M1 и M2:

.

В нашем случае

Таким образом, оба условия удовлетворяются. Следовательно, коэффициенты канонических уравнений рассчитаны верно.

6. Решение системы канонических уравнений и проверка ее правильности

Подставив в систему уравнений значения коэффициентов кано­нических уравнений, получим:

Решив эту систему уравнений, найдем значения неизвестных:

X1 = 4,267 кН; X2 = 0,865 кН.

Правильность вычисления неизвестных проверим путем под­становки найденных значений X1 и X2 в исходные уравнения:

108 × 4,267 - 25,5 × 0,865 - 438,750 = 460,836 - 460,808 0;

-25,5 × 4,267 + 11,333 × 0,865 + 99 = -108,808 + 108,803 0.

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Mок

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов Mок в характерных сечениях заданной системы целесообразно подсчитать в табличной форме (табл.14.3), предварительно пронумеровав все характерные сечения и задавшись правилом знаков изгибающих моментов (рис.18, б).

Окончательную эпюру изгибающих моментов Mок для заданной системы строим в соответствии с принципом независимости дейст­вия сил путем сложения «исправленных» эпюр M1X1 и M2X2 с грузовыми эпюрами MP и Mq , которые построены в основной сис­теме:

Mок = M1 X1 + M2 X2 + MP + Mq .

«Исправленные» эпюры изгибающих моментов M1 X1 и M2 X2 строим путем умножения всех ординат единичных эпюр M1 и M2 , соответственно, на значения X1 и X2 с учетом их знака. Постро­енные таким образом эпюры M1 X1 и M2 X2 приведены на рис. 17, к и рис. 18, а.

Таблица 14.3

Номер сечения M1X1, Нм M2X2, кНм MP, кНм Mq, кНм Mок, кНм
25,602 -9,0 -18,0 -1,398
25,602 -1,73 -9,0 -18,0 -3,128
25,602 -1,73 -9,0 -18,0 -3,128
12,801 -1,73 -6,0 5,071
-1,73 -1,730
12,801 -6.0 6,801
6,400 6,400
6,400 6,400

 

Так как на участке 2-3 эпюра Mок (рис. 18, в) криволинейна, то для уточнения ее очертания необходимо найти экстремальное значение изгибающего момента. Для этого рассмотрим элемент 2-3, вырезанный из статически неопределимой системы. На этот ри­гель действует равномерно распределенная нагрузка q = 2 кН/м и два опорных момента М2 = -3,128 кНм и М3 = 5,071 кНм (табл.14.3).

Расчетная схема этого элемента показана на рис. 18, г. Вна­чале вычислим опорные реакции, составив уравнения равновесия:

;

,

откуда R2 = 5,733 кН и R3 = 0,267 кН.

Проверим правильность вычисления опорных реакций, соста­вив уравнения равновесия:

.

Определим координату сечения, в котором Q = 0, а M = , использовав следующую дифференциальную зависимость:

,

откуда

м.

 

Рис. 18

 

Тогда для этого сечения получим:

кНм.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов Мок для заданной рамы (рис. 18, в).

8. Проверка правильности построения эпюр Мок и Q(z)

Для проведения статической проверки вырезаем жесткие узлы рамы кроме опорных, прикладываем все действующие в них мо­менты и проверяем условия равновесия .

В нашем примере вырежем узлы B и С (рис. 18, д) и проверим их равновесие.

Узел В: .

Узел С: .

Условия равновесия узлов B и С выполняются. Выполнение условия равновесия узлов является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности определения Мок является выполнение деформационной проверки заданной системы с применением эпюры Мок, суть которого заключается в доказательстве отсутствия перемещения в точках и по направлению каждой отброшенной связи, т.е.:

Эта проверка хотя и не имеет физического смысла, так как складываются различные по направлению перемещения, но она дает возможность доказать правильность построения Мок во всех сечениях заданной системы.

Для удобства вычислений целесообразно расчленить криволи­нейную эпюру Мок на участке рамы 2-3 (рис. 18, в) на трапецеи­дальную и параболическую (подобно приведенному выше на рис. 15). Тогда

Ординаты эпюры определяем используя зависимость или записывая в конечных разностях:

. (14.17)

где - поперечная сила в сечениях с координатой z по длине участка, имеющего расчетную схему в виде простой двухопорной балки, загруженной заданной внешней нагрузкой (рис. 18, г).

Участок 0-1. На этом участке внешняя нагрузка отсутствует, поэтому , и определяем по формуле (14.17):

кН.

Участок 2-3. В этом случае при наличии нагрузки q = 2 кН/м имеем:

,

откуда при z = 0: Q2 = 5,733 кН;

при z = l = 3 м: Q3 = 5,733 - 6= -0,267 кН.

Участок 4-5. кН.

Участок 6-7. кН.

Участок 8-9. кН.

По найденным значениям ординат строим эпюру Q (рис. 18, е).

9. Построение эпюры N

Ординаты эпюры продольных сил определяем из условий рав­новесия и узлов рамы, вырезанных из эпюры Q. При этом отрицательную поперечную силу направляем так, чтобы она вращала вырезанный узел против хода часовой стрелки, а поло­жительную - по ходу часовой стрелки. Нормальные силы направ­ляем от узла, т.е. предполагаем, что стойка и ригель растянуты.

Вырезав узел В (рис. 18, ж), составим уравнения равновесия:

; кН;

; кН.

Знак «минус» говорит о том, что направления продольных уси­лий ригеля и стойки были приняты неверно. Поэтому в действи­тельности ригель и стойка не работают на растяжение, а на сжатие.

Из рассмотрения равновесия узла С (рис. 18, з) следует:

; ;

; .

По вычисленным значениям ординат для каждого участка стро­им эпюру N (рис. 18, и).

10. Статическая проверка рамы в целом

Статическая проверка рамы в целом производится для под­тверждения правильности построения эпюр Q, N и Мок . Она за­ключается в проверке равновесия рамы в целом или любой отсе­ченной ее части, т.е. проверке удовлетворения условий равновесия ; ; под воздействием внешних нагрузок и внутренних усилий, возникающих в местах проведенных сечений.

Для выполнения этой проверки отсечем заданную раму от всех опор и заменим их действие возникающими в этих сечениях внутренними усилиями Q, N и M (рис. 18, к), значения которых определяются по эпюрам Q, N и Mок . Направление всех внутрен­них усилий при этом должно соответствовать их знаку. Следо­вательно:

; ;

; ;

; .

Уравнения равновесия удовлетворяются, cледовательно, рама рассчитана верно.

 

 







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 658. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия