Решение. 1. Определение степени статической неопределимости

1. Определение степени статической неопределимости

Используя зависимость (14.1) подсчита­ем степень статической неопределимости системы. Количество опорных стержней m =5, количество уравнений равновесия n = 3 ® , следовательно, система дважды ста­тически неопределима, или, другими словами, имеет две лишние связи.

2. Выбор основной системы

Известно, что основная система определяется из заданной путем отбрасывания лишних связей и приложением соответст­вующих усилий, возникающих в отброшенных связях в заданной системе. При этом основная система должна быть статически определимой и геометрически неизме­няемой.

Рис. 17

 

Сравнивая три варианта основных систем (рис.17, б -17, г) приходим к выводу, что наиболее целесообразно в качестве основной системы вы­брать I-ый вариант (рис. 17, б), так как в этом случае:

- не требуется предварительное вычисление опорных реакций;

- эпюры изгибающих моментов, построенные в этой схеме от воздействия на нее каждого из усилий Х ₁ = 1, Х ₂ = 1, Р и q, будут распространены на меньшем количестве участков системы и пред­ставлены простейшими геометрическими фигурами. Это значи­тельно облегчает процесс определения коэффициентов канониче­ских уравнений.

3. Составление системы канонических уравнений

Канонические уравнения, необходимые для решения стати­чески неопределимых задач, представляют собой уравнения сов­местности деформаций. Число их всегда равно степени статической неопределимости. Физический смысл каждого из канонических уравнений, как было указано выше, состоит в том, что суммарное перемещение по направлению усилий X_i от всех действующих в основной системе силовых факторов, включая и неизвестные, рав­но 0, так как в действительности в этих направлениях стоят связи, препятствующие возникновению перемещений по направлению этих неизвестных.

Для рассматриваемого случая канонические уравнения имеют вид:

(14.16)

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Так как все коэффициенты канонических уравнений представ­ляют собой перемещения, то для их вычисления вначале строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе. Затем по формуле Мора с применением готовых формул (см. табл.6.1) или правила Верещагина с использованием табл.14.2 определим их значения.

Эпюры изгибающих моментов, построенные в основной систе­ме от воздействия на нее каждого в отдельности усилия X ₁ = 1; X ₂ = 1; P и q, показаны на рис. 17, д - 17, з.

Исходя из единичных и грузовых эпюр определяем коэффици­енты канонических уравнений:

5. Проверка правильности подсчета коэффициентов

Правильность расчета коэффициентов канонических уравнений осуществляется путем универсальных проверок, при этом должны выполняться следующие условия:

где - сумма всех найденных главных и побочных коэффици­ентов:

;

- величина, полученная в результате умножения единичной сум­марной эпюры на себя:

;

- величина, определяемая сложением значений, полученных в результате умножения эпюры на эпюру M_P и эпюры на эпю­ру M_q; k - количество участков эпюры.

Эпюра (рис. 17, и) строится в основной системе от одновре­менного воздействия на нее всех неизвестных единичных усилий (X ₁ = 1; X ₂ = 1), т.е. путем сложения единичных эпюр M ₁ и M ₂:

.

В нашем случае

Таким образом, оба условия удовлетворяются. Следовательно, коэффициенты канонических уравнений рассчитаны верно.

6. Решение системы канонических уравнений и проверка ее правильности

Подставив в систему уравнений значения коэффициентов кано­нических уравнений, получим:

Решив эту систему уравнений, найдем значения неизвестных:

X ₁ = 4,267 кН; X ₂ = 0,865 кН.

Правильность вычисления неизвестных проверим путем под­становки найденных значений X ₁ и X ₂ в исходные уравнения:

108 × 4,267 - 25,5 × 0,865 - 438,750 = 460,836 - 460,808 0;

-25,5 × 4,267 + 11,333 × 0,865 + 99 = -108,808 + 108,803 0.

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов M_ок

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов M_ок в характерных сечениях заданной системы целесообразно подсчитать в табличной форме (табл.14.3), предварительно пронумеровав все характерные сечения и задавшись правилом знаков изгибающих моментов (рис.18, б).

Окончательную эпюру изгибающих моментов M_ок для заданной системы строим в соответствии с принципом независимости дейст­вия сил путем сложения «исправленных» эпюр M ₁ X ₁ и M ₂ X ₂ с грузовыми эпюрами M_P и M_q, которые построены в основной сис­теме:

M_ок = M ₁ X ₁ + M ₂ X ₂ + M_P + M_q.

«Исправленные» эпюры изгибающих моментов M ₁ X ₁ и M ₂ X ₂ строим путем умножения всех ординат единичных эпюр M ₁ и M ₂ , соответственно, на значения X ₁ и X ₂ с учетом их знака. Постро­енные таким образом эпюры M ₁ X ₁ и M ₂ X ₂ приведены на рис. 17, к и рис. 18, а.

Таблица 14.3

Номер сечения	M1X1, Нм	M2X2, кНм	MP, кНм	Mq, кНм	Mок, кНм
	25,602		-9,0	-18,0	-1,398
	25,602	-1,73	-9,0	-18,0	-3,128
	25,602	-1,73	-9,0	-18,0	-3,128
	12,801	-1,73		-6,0	5,071
		-1,73			-1,730
	12,801			-6.0	6,801
	6,400				6,400
	6,400				6,400

 

Так как на участке 2-3 эпюра M_ок (рис. 18, в) криволинейна, то для уточнения ее очертания необходимо найти экстремальное значение изгибающего момента. Для этого рассмотрим элемент 2-3, вырезанный из статически неопределимой системы. На этот ри­гель действует равномерно распределенная нагрузка q = 2 кН/м и два опорных момента М ₂ = -3,128 кНм и М ₃ = 5,071 кНм (табл.14.3).

Расчетная схема этого элемента показана на рис. 18, г. Вна­чале вычислим опорные реакции, составив уравнения равновесия:

;

,

откуда R ₂ = 5,733 кН и R ₃ = 0,267 кН.

Проверим правильность вычисления опорных реакций, соста­вив уравнения равновесия:

.

Определим координату сечения, в котором Q = 0, а M = , использовав следующую дифференциальную зависимость:

,

откуда

м.

 

Рис. 18

 

Тогда для этого сечения получим:

кНм.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов М_ок для заданной рамы (рис. 18, в).

8. Проверка правильности построения эпюр М_ок и Q(z)

Для проведения статической проверки вырезаем жесткие узлы рамы кроме опорных, прикладываем все действующие в них мо­менты и проверяем условия равновесия .

В нашем примере вырежем узлы B и С (рис. 18, д) и проверим их равновесие.

Узел В: .

Узел С: .

Условия равновесия узлов B и С выполняются. Выполнение условия равновесия узлов является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности определения М_ок является выполнение деформационной проверки заданной системы с применением эпюры М_ок, суть которого заключается в доказательстве отсутствия перемещения в точках и по направлению каждой отброшенной связи, т.е.:

Эта проверка хотя и не имеет физического смысла, так как складываются различные по направлению перемещения, но она дает возможность доказать правильность построения М_ок во всех сечениях заданной системы.

Для удобства вычислений целесообразно расчленить криволи­нейную эпюру М_ок на участке рамы 2-3 (рис. 18, в) на трапецеи­дальную и параболическую (подобно приведенному выше на рис. 15). Тогда

Ординаты эпюры определяем используя зависимость или записывая в конечных разностях:

. (14.17)

где - поперечная сила в сечениях с координатой z по длине участка, имеющего расчетную схему в виде простой двухопорной балки, загруженной заданной внешней нагрузкой (рис. 18, г).

Участок 0-1. На этом участке внешняя нагрузка отсутствует, поэтому , и определяем по формуле (14.17):

кН.

Участок 2-3. В этом случае при наличии нагрузки q = 2 кН/м имеем:

,

откуда при z = 0: Q ₂ = 5,733 кН;

при z = l = 3 м: Q ₃ = 5,733 - 6= -0,267 кН.

Участок 4-5. кН.

Участок 6-7. кН.

Участок 8-9. кН.

По найденным значениям ординат строим эпюру Q (рис. 18, е).

9. Построение эпюры N

Ординаты эпюры продольных сил определяем из условий рав­новесия и узлов рамы, вырезанных из эпюры Q. При этом отрицательную поперечную силу направляем так, чтобы она вращала вырезанный узел против хода часовой стрелки, а поло­жительную - по ходу часовой стрелки. Нормальные силы направ­ляем от узла, т.е. предполагаем, что стойка и ригель растянуты.

Вырезав узел В (рис. 18, ж), составим уравнения равновесия:

; кН;

; кН.

Знак «минус» говорит о том, что направления продольных уси­лий ригеля и стойки были приняты неверно. Поэтому в действи­тельности ригель и стойка не работают на растяжение, а на сжатие.

Из рассмотрения равновесия узла С (рис. 18, з) следует:

; ;

; .

По вычисленным значениям ординат для каждого участка стро­им эпюру N (рис. 18, и).

10. Статическая проверка рамы в целом

Статическая проверка рамы в целом производится для под­тверждения правильности построения эпюр Q, N и М_ок. Она за­ключается в проверке равновесия рамы в целом или любой отсе­ченной ее части, т.е. проверке удовлетворения условий равновесия ; ; под воздействием внешних нагрузок и внутренних усилий, возникающих в местах проведенных сечений.

Для выполнения этой проверки отсечем заданную раму от всех опор и заменим их действие возникающими в этих сечениях внутренними усилиями Q, N и M (рис. 18, к), значения которых определяются по эпюрам Q, N и M_ок . Направление всех внутрен­них усилий при этом должно соответствовать их знаку. Следо­вательно:

; ;

; ;

; .

Уравнения равновесия удовлетворяются, cледовательно, рама рассчитана верно.