Канонические уравнения метода сил

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i -ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

(14.2)

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. - это перемещение по направлению i -ой связи, вызванное реакцией k -ой связи; - перемещение по направлению i -ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k -ой связи принято обозначать через . С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

(14.3)

где - единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с X _k, но равной единице.

Подставляя (14.3) в (14.2), получим:

(14.4)

Физический смысл уравнения (14.4): перемещение в основной системе по направлению i -ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (14.4), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

(14.5)

Здесь – единичные перемещения; , – моменты от единичных сил, приложенных в направлении неизвестных , ; – изгибная жесткость. Обобщенные перемещения называются грузовыми перемещениями; – изгибающий момент, вызываемый i- й единичной силой; – изгибающий момент, который вызван системой внешних сил.

Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы (), и побочные (, ). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных.

Вид уравнения (14.5), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.