Метод перемещений

При расчёте статически неопределимых систем методом сил сначала находятся лишние неизвестные, затем внутренние силовые факторы и перемещения.

Можно решить задачу раскрытия статической неопределимости иначе: сначала найти перемещения характерных точек упругой системы, а затем внутренние силовые факторы. Метод перемещений отличается от метода сил тем, что за основные неизвестные принимаются перемещения узлов стержневой системы (углы поворота и линейные перемещения). Поэтому особенно просто раскрывается статическая неопределимость системы с малым числом узлов.

Стержневые деформируемые системы обладают конечным числом степеней свободы, которое совпадает с числом независимых перемещений узлов. Для плоской системы в общем случае каждый жесткий узел имеет три степени свободы (одно угловое перемещение и два линейных).

Если известны перемещения узлов, то можно найти перемещения любой точки стержневой системы. Общее число неизвестных перемещений n метода перемещений, называемое степенью кинематической неопределимости, определяем как сумму неизвестных углов поворота и неизвестных линейных перемещений :

.

Число неизвестных углов поворота равно числу жестких узлов. При определении линейных смещений предполагается, что при изгибе сближением концов стержней можно пренебречь. В силу этого предположения число независимых линейных перемещений узлов равно степени свободы шарнирной схемы системы, получаемой путём введения шарниров во все узлы, включая опорные.

В качестве примера рассмотрим портальную раму на рис.26.

а) б) в)

Рис. 26

 

Внешние моменты в узлах считаем положительными при их вращении по часовой стрелке. Это же правило принимаем для углов поворота узлов. Рама три раза статически неопределима. Число жёстких узлов . Чтобы найти , заменим все жёсткие узлы и жёсткие защемления шарнирами и превратим систему в геометрически изменяемую, т.е.механизм (рис.26, б). Число независимых линейных перемещений определится как число простых связей, которые необходимо наложить на шарнирную схему конструкции, чтобы сделать её геометрически неизменяемой. В данном примере = 1 (рис.26, б). Таким образом, число неизвестных перемещений n = 2+1 = 3, т.е. столько же, сколько и по методу сил.

а) б)

Рис. 27

 

Усложним раму (рис.27), число узлов , число простых дополнительных внешних связей . Следовательно, число неизвестных перемещений по методу перемещений n = 9+3 = 12. По методу сил число неизвестных .

Рассмотрим раму (рис.26, а) и нагрузим её обобщёнными силами (i =1,2,…, m) в узлах и распределённой нагрузкой интенсивности , либо сосредоточенными силами Р в пролётах такую стержневую систему называют заданной. В соответствии с законом Гука

(14.28)

решая уравнение (14.28) относительно сил , получим выражение для узловой нагрузки:

(14.29)

Если узловой нагрузки нет, либо она отнесена к внешней нагрузке, то из (14.29) следует:

(14.30)

или в развёрнутом виде:

Система (14.30) называется канонической системой уравнений метода перемещений, причём что следует из теоремы о взаимности перемещений. При отсутствии поперечной нагрузки

Выясним статический смысл коэффициентов , называемых коэффициентами жёсткости. Дадим, например узлам системы (рис. 28, а) перемещения , . Тогда из (14.30) следует:

а) б) в)

Рис. 28

 

Таким образом, , , – это обобщённые силы, которые нужно приложить в узлах в направлении неизвестных перемещений, чтобы получить единичное перемещение узла .

Аналогично выясняется смысл остальных коэффициентов жёсткости . Итак, – это обобщённые силы, приложенные в узлах номер i (i = 1,2,…, n) при единичном перемещении , т.е. узла j. Такая трактовка справедлива только для упругих систем.

На основании теоремы о взаимности работ имеем , где – работа сил i - го состояния на перемещение точек их положения, вызванных силами j – го состояния, – наоборот. Согласно этой теореме и потому , причём

где - моменты от единичных смещений.

а) б) в)

Рис. 29

 

Представим теперь, что мы наложили дополнительные связи в узлах от их поворота или линейных смещений. Тогда рама превращается в совокупность однопролётных балок с жёстко защемлёнными или шарнирно опёртыми концами (рис. 29). Такая система носит название основной системы метода перемещений. Если к основной системе приложить внешние силы (рис. 29, в), то получим систему эквивалентную заданной на основании принципа независимости действия сил.

Пусть теперь внешняя нагрузка отсутствует. Будем придавать узлам основной системы единичные смещения . Тогда на основании рис. 28 можно трактовать как реактивные обобщённые силы в упругих защемлениях узлов. Легко усмотреть, что при таком подходе стержневую систему действительно можно рассматривать как систему однопролётных статически определимых балок, концы которых упруго защемлены в узлах, лишённых линейных перемещений благодаря простым внешним связям (рис. 29).

Приложим теперь к основной системе внешнюю внутрипролётную нагрузку (рис. 29, в). Так как при этом все , то из (14.30) следует, что , т.е. будут представлять собой опорные реакции от внешней нагрузки внутри пролётов. Система будет эквивалентна заданной, если дополнительные связи будут упругими и допускать действительные перемещения, имеющие место в данной системе. Этого можно добиться, если приравнять к нулю реакции всех введённых дополнительных связей, которые препятствуют поворотам и линейным смещениям Эту мысль и выражают собой канонические уравнения (14.30).

Методика определения коэффициентов подробно излагается в курсах строительной механики. Реакции в балках определяются обычно по методу Мора. На рис.30 эти реакции и эпюры моментов указаны для некоторых видов изгиба. Значения коэффициентов (реакций) при единичных смещениях можно найти следующим образом. Общее решение дифференциального уравнения изгиба балки

после интегрирования имеет вид

Рис. 30

 

При прогиб , а при прогиб поэтому

Решая эту систему уравнений, находим постоянные:

Внутренние силовые факторы:

Подставляя значение постоянных, находим:

(14.31)

где

Если правая опора шарнирная, то , что, согласно (14.31), позволяет найти:

(14.32)

а затем

а) б)

Рис. 31

 

На рис. 31 показаны реакции от единичных перемещений согласно (14.31), (14.32). Зная реакции в опорах от единичных перемещений, можно найти коэффициенты из условий равновесия узлов или частей рамы.

Решая далее систему канонических уравнений (14.30), находим неизвестные перемещения . Зная последние по формулам

либо

(14.33)

находим изгибающие моменты в узлах рамы и строим эпюру моментов.

 

 

Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений