Главные оси и главные моменты инерции
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что u = y sin a + x cos a; v = y cos a - x sin a. (3.10) Из выражений:
с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:
Складывая первые два уравнения, получим: Iu + Iv = Ix + Iy = I r, (3.12) где Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a0 , при котором функция Iu принимает экстремальное значение:
С учетом (3.12) можно утверждать, что при a = a0 один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11). Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:
В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y - ix и iy , соответственно, которые определяются по формулам:
|
(3.11)
; I r - полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.
. (3.13)
. (3.14)
. (3.15)
