Решение. Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечениеИз сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): hшв = 0,2 м, bшв = 0,08 м, Fшв = 25,2×10-4м2, Уголок (80´80´8)×10-9 м3 (ГОСТ 8509-72): bуг = 0,08 м, Fуг = = 12,3×10-4 м2, Полоса bП ×d П = 18×1×10-4 м2, FП = bП ×d П = 18×1×10-4 м2 = 18×10-4 м2;
1. Определение общей площади составного сечения. Общая площадь составного сечения определяется по формуле: F = Fшв + Fуг + FП, F = (25,2 + 12,3+18)×10-4 = 55,5×10-4 м2. 2. Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:
Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:
3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести. Для определения указанных моментов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выражающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:
В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:
Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:
При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что
где
Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:
+ 18 × 8,8 × 0,14] ×10-8 = 367,2×10-8 м4. 4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции xC и yC определим по формуле:
5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:
Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки. 1-ая проверка: I max + I min = I max + I min = (4344,55 + 830,95)×10-8 = (5175,5)×10-8 м4;
2-ая проверка: I max > 4344,55 ×10-8 > 4305,4×10-8 > 870,1×10-8 > 830,95×10-8 м4. Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычисления моментов инерции составного сечения. 6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:
|
= 1670×10-8м4, 
= 139×10-8м4, 
= 0,0228 м.
= 73,4×10-8 м4, 
= 116×10-8 м4, 
=30,3×10-8 м4, 
= 0,0227 м.
м4, 
= 486×10-8 м4.
(3.16)
(3.17)
(3.18)
= [1670 + 25,2(-1,7)2 + 73,4 + 12,3(-9,43)2 + 1,5 + 18×(8,8)2]×10-8 = = 4305,4×10-8 м4.
= [139 + 25,2(1,42)2 + 73,4 + 12,3(-3,13)2 + 486 +18(0,14)2)×10-8 = = 870,1×10-8 м4.
и 
равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а
,
a - угол между осью x и главной осью x 0 уголка. Этот угол может быть положительным или отрицательным. В нашем примере a = +45°, поэтому:
= [0 + 25,2 × (-1,7) × 1,42 + 42,85 + 12,3 × (-9,43) (-3,13) + 0 +
.
Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания положения главной оси максимального момента инерции u следует ось x 0, осевой момент инерции относительно которой имеет наибольшее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендикулярна оси u.
= const;
> 
> 0;
