Электромагнитные колебания и волны

 

Пример решения задач

 

36. В колебательном контуре амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора за время с уменьшается в раз (). Найти: а) величину коэффициента затухания контура; б) величину активного сопротивления контура; в) добротность контура, если электроемкость конденсатора мкФ, индуктивность катушки Гн.

 

Дано: мкФ Гн с	Решение В колебательном контуре происходят затухающие электрические колебания. Амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора со временем уменьшается по закону
а) -? б) -7 в) -?	, (1) где – постоянная величина.

Через промежуток времени амплитуда напряжения

(2)

и уменьшается в раз. Поэтому из выражений (1) и (2) получается

. (3)

Прологарифмировав выражение (3), для коэффициента затухания имеем с^-1.

Коэффициент затухания и активное сопротивление контура связаны соотношением:

. (4)

Отсюда для величины следует: Ом.

Как известно, добротность контура определяется формулой:

Ответ: а) с^-1; б) Ом; в)

 

37. Цепь переменного тока частотой Гц и напряжения В состоит из последовательно соединенных конденсатора электроемкости мкФ, катушки индуктивности Гн, активного сопротивления Ом. Найти: а) импеданс (полное сопротивление) ; б) сдвиг по фазе между током и напряжением; в) силу тока ; г) падение напряжения на конденсаторе , катушке , активном сопротивлении .

 

Дано: В мкФ Гн Ом Гц	Решение Величины, характеризующие протекание тока циклической частоты в цепи, определяется выражениями для индуктивного сопротивления , емкостного сопротивления , реактивного сопротивления .
a) –? б) –? в) –? г) –? –? –?	Поэтому для искомых в задаче величин имеем: а) Ом.

б) , ;

в) А; г) В;

В; В

Ответ: а) Ом; б) ; в) А; г) В; В; В.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

4.8. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре дается в виде I = -0,020×sin400 p t (A). Индуктивность контура 1,0 Гн. Найти:

а) период колебаний;

б) емкость контура;

в) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора.

(T = 5·10^-3 c; C = 6,3·10^-7 Ф; U _max = 25 B)

 

4.9. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде

U = 50×сos10⁴p t (В). Емкость конденсатора составляет 9×10^-7 Ф. Найти:

а) период колебаний;

б) индуктивность контура;

в) закон изменения со временем силы тока в цепи;

г) длину волны, соответствующую этому контуру.

(T = 2·10^-4 c, L = 1,1 мГн, I = -1,4×sin10⁴×p t А, l = 6∙10⁴ м)

 

4.10. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью С = 7 мкФ, катушки индуктивности L = 0,23 Гн и сопротивления R = 40 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Q = 5,6×10^-4 Кл. Найти:

а) период колебаний контура;

б) логарифмический декремент затухания колебаний.

Написать уравнение зависимости изменения разности потенциалов на обкладках конденсатора от времени.

(T = 8·10^-3 c; l = 0,7; U = 80 exp (-87× t)cos(250 p t))

4.11. В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения U_R на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе равно U_C = 2 U_R и падение напряжения на индуктивности U_L = 3 U_R.

(U_R = 156 B)

 

4.12. Цепь переменного тока образована последовательно включенными активным сопротивлением R = 800 Ом, индуктивностью L = 1,27 Гн и ёмкостью С = 1,59 мкФ. На зажимы подано 50-периодное действующее напряжение U = 127 В. Найти:

а) действующее значение силы тока I в цепи;

б) сдвиг по фазе между током и напряжением;

в) действующее значение напряжений U_R, U_L и U_C на зажимах каждого элемента цепи.

(71 мА; -63°; 57 В; 28 В; 142 В)

 

4.13. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 25 нФ и катушки с индуктивностью L = 1,015 Гн. Обкладкам конденсатора сообщается заряд q = 2,5 мкКл. Написать уравнения (с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциалов U и тока I в цепи от времени. Найти разность потенциалов на обкладках конденсатора и ток в цепи в моменты времени T /8, T /4, T /2 (T – период колебаний). Построить графики U (t) и I (t) в пределах одного периода.

( мА;

мА; ; мА;

 

4.14. В однородной и изотропной среде с = 3,0 и распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны = 10,0 В/м. Найти: а) амплитуду напряженности магнитного поля волны , б)фазовую скорость волны.

( = )

Оптика

Пример решения задач

38. На мыльную пленку с показателем преломления падает по нормали пучок лучей белого света. При какой наименьшей толщине пленки она в отраженном свете будет казаться зеленой ()?

Дано:	Решение
–?

Для того, чтобы в отраженном свете пленка выглядела зеленой, необходимо, чтобы при интерференции отраженных лучей выполнялось условие максимума для зеленой части спектра. Оптическая разность хода лучей 3 и 2, отраженных от нижней и верхней поверхностей пленки,

,

(оптический ход в плёнке луча 3 больше луча 2 на 2 dn, но луч 2 отражается от оптически более плотной среды, поэтому его ход скачком увеличивается на ). Условие максима:

,

где k = 0, 1, 2…. Наименьшая толщина пленки будет при k = 0, тогда

Ответ: м.

 

39. На прозрачную дифракционную решетку с периодом мкм падает нормально монохроматический свет с длинной волны нм. Найти: а) наибольший порядок главного дифракционного максимума; б) угол дифракции главного дифракционного максимума наибольшего порядка.

Дано: нм мкм	Решение Условие главного дифракционного максимума порядка имеет вид , (),
а) –? б) –?	где – угол дифракции, соответствующего главного максимума

Как следует из выпеприведенной формулы, наибольший порядок дифракционного максимума должен удовлетворять соотношению .

Отсюда имеем . Поскольку угол не может быть больше , а m должно быть целым, то выбираем m = 2. Для соответствующего угла дифракции получим =

Ответ: а) ; б)

 

40. Луч света, падающий на поверхность кристалла каменной соли, при отражении максимально поляризуется, если угол падения равен 57°. Найти: а) показатель преломления кристалла каменной соли; б) скорость распространения света в этом кристалле.

 

Дано:	Решение Согласно закону Брюстера отраженный луч света максимально поляризован, если угол падения луча удовлетворяет соотношению . (1)
а) –? б) –?

Скорость света в кристалле может быть найдена из известного соотношения:

, (2)

где – скорость света в вакуме. Поэтому из формул (1) и (2) имеем

.

Ответ: а) б)

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

4.15. На мыльную пленку с показателем преломления n = 1,33 падает по нормали монохроматический свет с длиной волны l = 0,60 мкм. Отраженный свет в результате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина плёнки d_min?

(0,11 мкм)

 

4.16. Плоская световая волна длиной l₀ в вакууме падает по нормали на прозрачную пластинку с показателем преломления n. При каких толщинах b пластинки отраженная волна будет иметь:

а) максимальную интенсивность;

б) минимальную интенсивность?

(а) b = (l₀/2 n)(m +0,5) (m = 1, 2, 3...); б) b = (l₀/2 n) m (m = 1,2,3...))

 

°

4.17. На дифракционную решетку нормально падает пучок света.

Красная линия (l = 6300 Å) видна в спектре 3-го порядка под углом j = 60°.

Определить:а) какая спектральная линия видна под этим же углом в спектре 4-го порядка; б) какое число штрихов на 1 мм длины имеет дифракционная решетка.

(l = 475 нм; N = 460 мм^-1)

 

4.18. Пластина кварца толщиной d ₁ = 1,0 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света определенной длины волны на угол j₁ = 20°. Определить:

а) какова должна быть длина d ₂ кварцевой пластинки, помещенной между двумя “параллельными” николями, чтобы свет был полностью погашен;

б) какой длины l трубку с раствором сахара концентрации С = 0,40 кг/л надо поместить между николями для получения того же эффекта.

Удельное вращение раствора сахара a₀ = 0,665 град/(м^-2×кг).

(d ₂ = 4,5 мм; l = 3,4 дм)

 

4.19. Под каким углом к горизонту должно находиться солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, стали бы наиболее полно поляризованы, если скорость света в воде 2,26×10⁸ м/с?

(37°)

 

4.20. Источник света диаметром d = 30,0 см находится от места наблюдателя на расстоянии l = 200 м. В излучении источника содержатся волны длиной от 490 до 510 нм. Оценить для этого излучения: а) время когерентности ; б) длину когерентности ; в) радиус когерентности .

( 0,010 мм; 0,30 мм)

 

4.21. Пластинка кварца толщиной d = 4,0 мм (удельное вращение кварца 15 град/мм), вырезанная перпендикулярно оптической оси, помещена между двумя скрещенными николями. Пренебрегая потерями света в николях, определите, во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего эту систему.

.