Решение. Для решения этой задачи воспользуемся методом сил

Для решения этой задачи воспользуемся методом сил. В качестве основной сис­темы выберем ту же балку, но с размещенным в точке В виртуальным шарниром (рис. 1.3.1.18). Тогда в качестве эквивалентной будет выступать основная система, к которой помимо внешней нагрузки приложены два одинаковых неизвестных си-

ловых фактора X, (два неизвестных момента). Величина Х_х должна удовлетворять следующему усло­вию: угол поворота точки В равен нулю, т. к. на самом деле шарнир в этой точке отсутствует.

Составим каноническое уравне­ние метода сил (2.6.37):

где — поворот точки В в на­правлении неизвестного силового фактора под действием единичного момента, приложенного вместо ; — поворот точки В в направле­нии неизвестного момента под дей­ствием внешней нагрузки.

Из канонического уравнения оп­ределим X.:

36 Глава 1.Сопротивление материалов

Дня того чтобы определить коэффициенты канонического уравнения, восполь­зуемся интегралом Мора, а именно:

Здесь — изгибающий момент от единичной нагрузки, приложенной вме-

сто неизвестного фактора (эпюра ^на рис. 1.3.1.1 Я); — изгибающий мо-

мент от внешней нагрузки (эпюра / на рис. 1.3.1.19).

Разобьем всю балку на три равных участка длиной а и свяжем с началом каж­дого участка локальную систему координат, в которой будут выполняться все дальнейшие расчеты. Подставляя аналитические выражения и вычисляя интегралы, получим:

При расчете более сложных моделей балочных и рамных конструкций метод Мора является слишком трудоемким, так как требует составления аналитического выражения подынтегральных функций. Для упрощения вычислений используют метод Верещагина [5], суть которого заключается в следующем.

Пусть на участке длиной / нужно взять интеграл от произведения двух функций

, при условии, что по крайней мере одна из этих функций — линейная, например, , где а и b— некоторые кон-

станты. Тогда интеграл можно заменить следующим выражением:

где — площадь, ограниченная кривой, т. е. площадь эпюры , а

— значение линейной функции в точке , которая является

координатой центра тяжести первой эпюры.

Если линейными являются обе функции, то операция перемножения обладает свойством коммутативности, т. е. не имеет значения, умножается ли площадь пер­вой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

1.3. Изгиб __________________________________________________________________ 37

Определим теперь методом Верещагина коэффициенты канонического уравне­ния. Коэффициент найдем перемножением эпюры F на эпюру /, а коэффици­ент — умножением эпюры / саму на себя:

Как видно, оба рассмотренных метода — Мора и Верещагина — дают одинако­вые результаты.

Решая каноническое уравнение, получаем

Тогда эквивалентную систему приобретает вид (рис. 1.3.1.20). Рассматривая час­ти балки, расположенные справа и слева от шарнира, как самостоятельные незави­симые системы, с помощью уравнений статики найдем реакции в опорах. После этого строим эпюру изгибающих моментов.

 

38 Глава 1.Сопротивление материалов

Решение этой задачи, выполненное с помощью модуля АРМ Beam, представле­но на рис. 1.3.1.21.

 

1.3.2. Расчет плоских рамных конструкций

Задача 1. Для плоской рамы, изображенной на рис. 1.3.2.1, построить эпюры внутренних силовых факторов.