Алгоритмическая машина Тьюринга

 

Алан Тьюринг в 1936 году опубликовал в трудах Лондонского математического общества статью «О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения», которая наравне с работами Поста и Черча лежит в основе современной теории алгоритмов.

Предыстория создания этой работы связана с формулировкой Давидом Гильбертом на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году неразрешенных математических проблем. Одной из них была задача доказательства непротиворечивости системы аксиом обычной арифметики, которую Гильберт в дальнейшем уточнил как «проблему разрешимости» – нахождение общего метода, для определения выполнимости данного высказывания на языке формальной логики.

Статья Тьюринга как раз и давала ответ на эту проблему – вторая проблема Гильберта оказалась неразрешимой. Но значение статьи Тьюринга выходило далеко за рамки той задачи, по поводу которой она была написана.

 

Машина Тьюринга состоит из трех частей: ленты, считывающей (записывающей) головки и логического устройства.

 

 

Лента выступает в качестве внешней памяти. Она считается неограниченной (бесконечной). Уже это свидетельствует о том, что машина Тьюринга является модельным устройством, поскольку ни одно реальное устройство не может обладать памятью бесконечного размера.

Как и в машине Поста, лента разбита на отдельные ячейки, однако в машине Тьюринга неподвижной является головка, а лента передвигается относительно нее вправо или влево.

Другим отличием является то, что она работает не в двоичном, а некотором произвольном конечном алфавите A = {Δ, a₁…a_n} – этот алфавит называется внешним. В нем выделяется специальный символ – Δ, называемый пустым знаком – его посылка в какую-либо ячейку стирает тот знак, который до этого там находился, и оставляет ячейку пустой. В каждую ячейку ленты может быть записан лишь один символ. Информация, хранящаяся на ленте, изображается конечной последовательностью знаков внешнего алфавита, отличных от пустого знака.

Головка всегда расположена над одной из ячеек ленты. Работа происходит тактами (шагами). Система исполняемых головкой команд предельно проста: на каждом такте она производит замену знака в обозреваемой ячейке a_i знаком a_j. При этом возможны сочетания:

· j = i – означает, что в обозреваемой ячейке знак не изменился;

· i ≠ 0, j = 0 – хранившийся в ячейке знак заменяется пустым, т.е. стирается;

· i = 0, j ≠ 0 – пустой знак заменяется непустым (с номером j в алфавите), т.е. производится вставка знака;

· i ≠ j ≠ 0 – соответствует замене одного знака другим.

Таким образом, в машине Тьюринга реализуется система предельно простых команд обработки информации. Эта система команд обработки дополняется также предельно простой системой команд перемещений ленты: на ячейку влево, на ячейку вправо и остаться на месте, т.е. адрес обозреваемой ячейки в результате выполнения команды может либо измениться на 1, либо остаться неизменным. Однако, хотя фактически происходит перемещение ленты, обычно рассматривается сдвиг головки относительно обозреваемой секции. По этой причине команда сдвига ленты влево обозначается R (Right), сдвига вправо – L (Left), отсутствие сдвига – S (Stop). Мы будем говорить именно о сдвиге головки и считать R, L и S командами ее движения. Элементарность этих команд означает, что при необходимости обращения к содержимому некоторой ячейки, она отыскивается только посредством цепочки отдельных сдвигов на одну ячейку. Разумеется, это значительно удлиняет процесс обработки, зато позволяет обойтись без нумерации ячеек и использования команд перехода по адресу, т.е. сокращает количество истинно элементарных шагов, что важно в теоретическом отношении.

Обработка информации и выдача команд на запись знака, а также сдвига ленты в машине Тьюринга производится логическим устройством (ЛУ). ЛУ может находиться в одном из состояний, которые образуют конечное множество и обозначаются Q ={q₁…q_m, z}, причем состояние z соответствует завершению работы, а q₁ является начальным (исходным). Q совместно со знаками R, L, S образуют внутренний алфавит машины. ЛУ имеет два входных канала (a_i, q_i) и три выходных (a_i+1, q_i+1, D_i+1).

 

 

Понимать схему необходимо следующим образом: на такте i на один вход ЛУ подается знак из обозреваемой в данный момент ячейки (a_i,), а на другой вход – знак, обозначающий состояние ЛУ в данный момент (q_i). В зависимости от полученного сочетания знаков (a_i, q_i) и имеющихся правил обработки ЛУ вырабатывает и по первому выходному каналу направляет в обозреваемую ячейку новый знак (a_i+1), подает команду перемещения головки (D_i+1 из R, L и S), а также дает команду на вызов следующего управляющего знака (q_i+1). Таким образом, элементарный шаг (такт) работы машины Тьюринга заключается в следующем: головка считывает символ из обозреваемой ячейки и, в зависимости от своего состояния и прочитанного символа, выполняет команду, в которой указано, какой символ записать (или стереть) и какое движение совершить. При этом и головка переходит в новое состояние. Схема функционирования такой машины представлена на рисунке.

 

 

В данной схеме отражено разделение памяти на внешнюю и внутреннюю. Внешняя представлена, как указывалось, в виде бесконечной ленты – она предназначена для хранения информации, закодированной в символах внешнего алфавита. Внутренняя память представлена двумя ячейками для хранения следующей команды в течение текущего такта: в Q передается из ЛУ и сохраняется следующее состояние (q_i+1), а в D – команда сдвига (D_i+1). Из Q по линии обратной связи q_i+1 поступает в ЛУ, а из D команда поступает на исполнительный механизм, осуществляющий при необходимости перемещение ленты на одну позицию вправо или влево.

Общее правило, по которому работает машина Тьюринга, можно представить следующей записью: q_i a_j → q_i’ a_j’ D_k, т.е. после обзора символа a_j головкой в состоянии q_i в ячейку записывается символ a_j’, головка переходит в состояние q_i’, а лента совершает движение D_k. Для каждой комбинации q_i a_j имеется ровно одно правило преобразования (правил нет только для z, поскольку, попав в это состояние, машина останавливается). Это означает, что логический блок реализует функцию, сопоставляющую каждой паре входных сигналов q_i a_j одну и только одну тройку выходных q_i’a_j’D_k – она называется логической функцией машины и обычно представляется в виде таблицы (функциональной схемой машины), столбцы которой обозначаются символами состояний, а строки – знаками внешнего алфавита. Если знаков внешнего алфавита n, а число состояний ЛУ m, то, очевидно, общее число правил преобразования составит n×m.

Конкретная машина Тьюринга задается перечислением элементов множеств A и Q, а также логической функцией, которую реализует ЛУ, т.е. набором правил преобразования. Ясно, что различных множеств A, Q и логических функций может быть бесконечно много, т.е. и машин Тьюринга также бесконечно много.

Прежде чем обсуждать функционирование машины Тьюринга, введем еще одно понятие — конфигурации машин, т.е. совокупности состояний всех ячеек ленты, состояния ЛУ и положение головки.

Записать конфигурацию можно следующим образом: Δa₁ q_i a_j…a_k Δ, которая означает, что в слове из k символов обозревается секция номер j и при этом управляющее устройство находится в состоянии q_i. Ясно, что конфигурация машины может содержать любое количество символов внешнего алфавита и лишь один символ внутреннего. Часто конфигурацию записывают в виде a₁ q_i a₂, где a₁ – слово на ленте слева от головки, a₂ – слово на ленте справа от головки, включая обозреваемый знак. Слева от a₁ и справа от a₂ лента пуста.

Перед началом работы на пустую ленту записывается исходное слово a конечной длины в алфавите A; головка устанавливается над первым символом слова a, ЛУ переводится в состояние q₁ (т.е. начальная конфигурация имеет вид q₁a). Поскольку в каждой конфигурации реализуется только одно правило преобразования, начальная конфигурация однозначно определяет всю последующую работу машины, т.е. всю последовательность конфигураций вплоть до прекращения работы.

В зависимости от начальной конфигурации возможны два варианта развития событий:

1) после конечного числа тактов машина останавливается по команде остановки; при этом на ленте оказывается конечная конфигурация, соответствующая выходной информации;

2) остановки не происходит.

В первом случае говорят, что данная машина применима к начальной информации, во втором – нет. Вся совокупность входных конфигураций, при которых машина обеспечивает получение результата, образуют класс решаемых задач. Очевидно, применять машину Тьюринга для задачи, не входящей в класс решаемых, бессмысленно. С другой стороны, во многих случаях возможно расширение класса решаемых задач за счет создания другой машины Тьюринга.

По своему устройству машина Тьюринга крайне примитивна. Она намного проще самых первых компьютеров. Примитивизм состоит в том, что у нее предельно прост набор элементарных операций, производимых головкой – считывание и запись, а также в том, что доступ к ячейкам памяти (секциям ленты) в ней происходит не по адресу, как в компьютерах, а путем последовательного перемещения вдоль ленты. По этой причине даже такие простые действия, как сложение или сравнение двух символов, машина Тьюринга производит за несколько шагов, а обычные операции сложения и умножения требуют весьма большого числа элементарных действий. Однако машина Тьюринга была придумана не как модель или прототип реальных вычислительных машин, а для того, чтобы показать принципиальную теоретическую возможность построения сколь угодно сложного алгоритма из предельно простых операций, причем сами операции и переход от одной к последующей машина выполняет автоматически.

Машина Тьюринга дает один из путей уточнения понятия алгоритма. В связи с этим возникают вопросы:

− насколько общим является понятие машины Тьюринга?

− можно ли считать, что способ задания алгоритмов с помощью машины Тьюринга является универсальным?

− может ли всякий алгоритм задаваться таким образом?

На эти вопросы современная теория алгоритмов предлагает ответ в виде следующей гипотезы.

 

Тезиса Тьюринга. Если некоторая процедура четко определена и по природе своей механистична, то модно вполне обоснованно предположить, что найдется машина Тьюринга, способная ее выполнить.

 

В принципе, эта гипотеза может быть опровергнута, если удастся привести пример алгоритма, который не может быть реализован с помощью тьюринговой функциональной схемы. Однако все известные до сих пор алгоритмы могут быть заданы посредством тьюринговых функциональных схем.