Дисперсии отклонений неизвестны

Для применения ВНК необходимо знать фактические значения дисперсий отклонений. На практике такие значения известны крайне редко. Следовательно, чтобы применить ВНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях .

Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии отклонений пропорциональны значениям или значениям .

1. Дисперсии пропорциональны :

Тогда уравнение (46) преобразуется делением его левой и правой частей на :

(48)

Несложно показать, что для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Следовательно, для регрессии (48), применим обычный МНК.

Таким образом, оценив для (48) по МНК коэффициенты затем возвращаются к исходному уравнению регрессии (46).

Если в уравнении регрессии присутствует несколько объясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо конкретной объясняющей переменной , используется т.е. фактически линейная комбинация объясняющих переменных. В этом случае получают следующую регрессии

Иногда из всех объясняющих переменных выбирается наиболее подходящая.

2. Дисперсии пропорциональны .

В случае если зависимость от целесообразнее выразить не линейной функцией, а квадратичной, то соответствующим преобразованием будет деление уравнения регрессии (46) на :

, (49)

Несложно показать, что для отклонений будет выполняться условие гомоскедастичности. После определения по МНК оценок коэффициентов для уравнения (49) возвращаются к исходному уравнению (46).

Отметим, что для применения описанных выше преобразований весьма значимы знания об истинных значениях дисперсий отклонений , либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. Во многих случаях дисперсии отклонений зависят не от включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. В этом случае они должны быть включены в модель. В ряде случаев для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели (например, линейную на лог-линейную, мультипликативную на аддитивную и т. п.).

На практике имеет смысл применить несколько методов определения гетероскедастичности и способов ее корректировки (преобразований, стабилизирующих дисперсию).

Рассмотрим пример 4. Пусть имеются условные данные, выстроенные в порядке возрастания объясняющей переменной (табл.5).

Таблица 5.

X
Y
X
Y
X
Y

 

Уравнение регрессии построенное по всем исходным данным имеет вид . Для оценки гетероскедастичности применим тест Голдфелда-Квандта. Уравнение регрессии, построенное по первым 11 данным, имеет вид , сумма квадратов остатков равна . Уравнение регрессии, построенное по последним 11 данным, имеет вид , сумма квадратов остатков равна . -статистика равна , что превосходит табличные значения при уровнях значимости 5% и 1%. Следовательно имеется гетероскедастичность остатков. Будем полагать, что дисперсия остатков пропорциональна . Преобразуем исходное уравнение регрессии к уравнению вида (49). Определив новые переменные и оценив коэффициенты, получим уравнение . Возвращаясь к исходным переменным, получим уравнение , как видно в данном случае оно незначительно отличается от уравнения полученного без преобразований.