Дисперсии отклонений неизвестныДля применения ВНК необходимо знать фактические значения дисперсий отклонений. На практике такие значения известны крайне редко. Следовательно, чтобы применить ВНК, необходимо сделать реалистические предположения о значениях . Например, может оказаться целесообразным предположить, что дисперсии отклонений пропорциональны значениям или значениям . 1. Дисперсии пропорциональны : Тогда уравнение (46) преобразуется делением его левой и правой частей на : (48) Несложно показать, что для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности. Следовательно, для регрессии (48), применим обычный МНК. Таким образом, оценив для (48) по МНК коэффициенты затем возвращаются к исходному уравнению регрессии (46). Если в уравнении регрессии присутствует несколько объясняющих переменных, можно поступить следующим образом. Вместо конкретной объясняющей переменной , используется т.е. фактически линейная комбинация объясняющих переменных. В этом случае получают следующую регрессии
Иногда из всех объясняющих переменных выбирается наиболее подходящая. 2. Дисперсии пропорциональны . В случае если зависимость от целесообразнее выразить не линейной функцией, а квадратичной, то соответствующим преобразованием будет деление уравнения регрессии (46) на : , (49) Несложно показать, что для отклонений будет выполняться условие гомоскедастичности. После определения по МНК оценок коэффициентов для уравнения (49) возвращаются к исходному уравнению (46). Отметим, что для применения описанных выше преобразований весьма значимы знания об истинных значениях дисперсий отклонений , либо предположения, какими эти дисперсии могут быть. Во многих случаях дисперсии отклонений зависят не от включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. В этом случае они должны быть включены в модель. В ряде случаев для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели (например, линейную на лог-линейную, мультипликативную на аддитивную и т. п.). На практике имеет смысл применить несколько методов определения гетероскедастичности и способов ее корректировки (преобразований, стабилизирующих дисперсию). Рассмотрим пример 4. Пусть имеются условные данные, выстроенные в порядке возрастания объясняющей переменной (табл.5). Таблица 5.
Уравнение регрессии построенное по всем исходным данным имеет вид . Для оценки гетероскедастичности применим тест Голдфелда-Квандта. Уравнение регрессии, построенное по первым 11 данным, имеет вид , сумма квадратов остатков равна . Уравнение регрессии, построенное по последним 11 данным, имеет вид , сумма квадратов остатков равна . -статистика равна , что превосходит табличные значения при уровнях значимости 5% и 1%. Следовательно имеется гетероскедастичность остатков. Будем полагать, что дисперсия остатков пропорциональна . Преобразуем исходное уравнение регрессии к уравнению вида (49). Определив новые переменные и оценив коэффициенты, получим уравнение . Возвращаясь к исходным переменным, получим уравнение , как видно в данном случае оно незначительно отличается от уравнения полученного без преобразований.
|