Студопедия — Определение определителя. Основные свойства определителя (равноправие строк и столбцов, линейность, кососимметричность определителя).
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение определителя. Основные свойства определителя (равноправие строк и столбцов, линейность, кососимметричность определителя).






Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице.

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

 

Свойства:

 

1) Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

2) При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

3) Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

4) Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

5) Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

6) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

7) Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

8) Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

9) Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

4. Определение алгебраического дополнения. Теорема о разложении определителя по строке. Теорема об определителе произведения двух матриц.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Теорема Лапласа:

Пусть — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по -й строке: Разложение по -му столбцу:

где — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером и столбце с номером . также называют алгебраическим дополнением к элементу .

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Теорема:

Определитель произведения двух квадратных матриц А и В одного и того же порядка равен произведению их определителей:

det(A*B)=detA*detB

5. Определение обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Критерий обратимости матриц.

 

Матрица A называется обратимой, если существует такая матрица B, что AB=BA=E. Матрица B называется обратной к A и обозначается .

Замечание

Если матрица А обратима, то из равенства следует, что А квадратная матрица.

Свойства.

Пусть матрица А обратима, тогда

1. уществует единственная матрица обратная к А

2. и

3. Если , то также обратима и

4. также обратима и

5. Пусть матрица B так же обратима. Тогда матрица ABобратима и

Критерий обратимости.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда . Более того справедлива формула







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 2777. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия