Вектор называется свободным, если его значение не меняется при произвольном параллельном переносе. Свободным В. является, например, скорость движения материальной точки.
| Операции над свободными векторами: сложение и умножение на число
|
Определение 9::Сумма свободных векторов.
Пусть a, b  V3. Возьмем произвольно точку О.
Тогда  ! ОА a и ! AB b т.ч. OB a+b, т.е. a+b = { CD: CD = OB}
Корректность сложения: OB a+b, O'B' a+b  OB = O'B'.
|
| Определение 10::Пусть a - свободный вектор, AB – его реализация, тогда BA является реализацией свободного вектора (-a).
(-a) – обратный вектордля a, т.е. (-a) = { BA: AB a }
|
Определение 11::Умножение вектора на число:
1) λ•θ = θ для  λ R.
2) a ≠ θ, AB a, отрезок AB лежит на прямой l.
2.1) λ = 0  λ∙a= θ.
2.2) λ > 0 AC  λ∙a, где AC т.ч. |AC| = λ•|AB|, C l и т. B и C находятся по одну сторону от т. А.
2.3) λ < 0 AD λ∙a, где AD т.ч. |AD| = |λ|∙|AB|, D l и т. B и D находятся по разные стороны от т. А.
|
Свойства операций над векторами: a, b, c V3, λ, μ R
1) Коммутативность сложения
a +b = b +a.
2) Ассоциативность сложения
a +b +c = (a +b)+c = a +(b +c).
3) a + θ = a.
4) a +(-a) = θ.
5) Ассоциативность умножения на число
λ(μ∙a) = (λμ)∙a
6) 1∙a = a.
7) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов
λ∙(a +b) = λ∙a +λ∙b.
8) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел
(λ+μ)∙a = λ∙a +μ∙a.
1010. Определение скалярного произведения векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, обозночаемое  и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними:
a•b=|a|•|b|•cos(a^b)
где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b. Отметим, что всегда(0≤a^b≤π).
Основные свойства скалярного произведения векторов: 1. a •b = b• a; 2. (λa)•b= •(λb) = λ (a•b); 3. a•(b+с) = a•b+a•с; 4. a•b = | a | прa b = |b| прb| a |; 5. a • a = | a |²; 6. a • b = 0, если a ┴ b.
|
