Швидкість і прискорення

Скалярну величину, яка рівна довжині траєкторії називають шляхом. Вектор, що з’єднує початкове положення матеріальної точки з її положенням в даний момент часу називають вектором переміщення .

. (1.3)

При прямолінійному русі вектор переміщення співпадає з відповідною ділянкою траєкторії, тобто його модуль рівний пройденому шляху. У випадку криволінійного руху вектор переміщення є січною, що проходить через дві точки траєкторії, які відповідають двом різним моментам часу.

Швидкість – це векторна величина, яка характеризує зміну радіуса-вектора рухомої точки з часом. Вектор середньої швидкості рівний відношенню приросту радіуса-вектора рухомої точки до часу , за який він відбувся

. (1.4)

Якщо перейти до границі при , то отримаємо вираз для миттєвої швидкості

. (1.5)

Таким чином,миттєва швидкість – це швидкість в даний момент часу або в даній точці траєкторії. Вектор миттєвої швидкості дорівнює першій похідній радіуса-вектора рухомої точки по часу і напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в будь-якій її точці. Врахувавши, що при , отримаємо:

. (1.6)

В загальному випадку з (1.6) випливає, що шлях може бути обчислений за формулою

. (1.7)

Швидкість можна представити через її проекції на координатні вісі

, (1.8)

, (1.9)

де , . (1.10)

Швидкість може змінюватись як за модулем так і за напрямком. Для характеристики зміни швидкості вводять вектор прискорення, який описує зміну швидкості з часом. Середнє прискорення рівне відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за який вона відбулася

. (1.11)

Миттєве прискорення – це прискорення в даний момент часу і воно визначається як границя до якої прямує середнє значення прискорення, якщо проміжок часу прямує до нуля

. (1.12)

Таким чином, миттєве прискорення дорівнює першій похідній швидкості по часу або другій похідній радіуса-вектора по часу.

В проекціях на координатні вісі

, (1.13)

, (1.14)

де .(1.15)

Коли матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії (рис.1.2), і вектор її швидкості змінюється як за напрямком так і за модулем , то

. (1.16)

Знайдемо миттєве прискорення матеріальної точки, скориставшись формулами (1.12) та (1.16)

. (1.17)

Отже, повне прискорення рівне сумі нормального і тангенціального прискорень. Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком і напрямлене вздовж радіуса до центра кривизни траєкторії. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем і напрямлене вздовж дотичної до траєкторії. Числові значення цих прискорень рівні

(1.18)

та . (1.19)

 

З рис.1.3 маємо

(1.20)

та . (1.21)