Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущего по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением у =f(х), удаляется в бесконечность при приближении х к конечной точке а, то прямая х = а называется вертикальной асимптотой этой кривой.
Такими асимптотами являются прямая 
для гиперболы 
, каждая из прямых 
для функции 
(рис. 1).
Помимо вертикальной асимптоты гипербола имеет еще и горизонтальную асимптоту 
, как и график функции 
, однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2)
У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой 
, имеется наклонная асимптота, как и у кривой 
(рис. 4).
| 
|
| Рис. 3
| Рис. 4
|
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при 
. Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам хорошо изученной линейной функции. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение. Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.
