Примеры нахождения асимптот графиков функций.

 

Пример 1.

Найти асимптоты кривой

Решение.

Найдем горизонтальные асимптоты по формулам :

,

Таким образом, кривая имеет единственную горизонтальную асимптоту вида .

Найдем вертикальные асимптоты . С этой целью определим точки, вблизи которых функция неограниченно возрастает по абсолютной величине – точки разрыва второго рода. Единственная точка разрыва для данной функции . Определим ее вид:

, . Очевидно, что - вертикальная асимптота.

Для определения наклонной асимптоты вида вычислим пределы и :

Получим , то есть кривая не имеет наклонной асимптоты.

 

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции

Решение.

Найдем горизонтальные асимптоты по формулам:

,

Таким образом, кривая имеет единственную горизонтальную асимптоту вида .

Найдем вертикальные асимптоты. Точки разрыва для данной функции , . Исследуем точки разрыва:

, .

, .

Таким образом, график имеет две вертикальные асимптоты .

Для определения наклонной асимптоты вида вычислим пределы и :

Получим , то есть график не имеет наклонной асимптоты.

 

Пример 3.

Найти асимптоты графика функции

Решение.

Найдем горизонтальные асимптоты по формулам:

,

Таким образом, график не имеет горизонтальных асимптот.

Найдем вертикальные асимптоты. Точка разрыва для данной функции .

, .

Таким образом, график имеет вертикальную асимптоту .

Для определения наклонной асимптоты вида вычислим пределы и :

Получим

,

,

то есть график имеет наклонную асимптоту . Расчеты идентичны при и , поэтому они объединены.

 

Пример 4.

Найти асимптоты графика функции

Решение.

Найдем горизонтальные асимптоты по формулам:

,

Таким образом, график не имеет горизонтальных асимптот.

Найдем вертикальные асимптоты. Точка разрыва для данной функции .

, .

Таким образом, график имеет левостороннюю (левую) вертикальную асимптоту .

Для определения наклонной асимптоты вида вычислим пределы и : Если значение предела не зависит от знака бесконечности, то знак следует опустить с целью сокращения расчетов.

Получим

,

то есть график имеет наклонную асимптоту .

Заметим, что при вычислении значения b был использован предел, производный от второго замечательного предела.