Определение постоянных интегрирования.

Пусть i_св = А₁е^p1t +А₂е ^p2t + …

С помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации нужно найти числовое значение искомого свободного тока при t=0, которое обозначается i_св(+0), а так же числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t =+0, то есть I’_св(+0), I’’_св(+0) и т.д.

Если характеристическое уравнение имеет один корень, то i_св(+0) = Ае^p(+0) = А, то есть постоянная интегрирования определяется по величине свободного тока при t=+0.

Если корня два и => i_св = А₁е^p1t +А₂е ^p2t, то i_св = А₁+А_{2 .} Однако этого уравнения не достаточно для нахождения обеих постоянных интегрирования => нужно взять производную от i_св(+0) по t.

, так как i_пр = 0;

;

i_св(+0) = 0 = А₁+А₂ => А₁=- А₂

 

По второму закону Кирхгофа имеем:

i(+0)R+ U_с(+0)+L = E

так как i(+0)=0, то , тогда

;

А₁= - А₂ , тогда

i(t) = *

При нулевых начальных условиях 0, емкость можно считать, а индуктивность i_L(+0) = 0 можно считать обрывом ветви.

При ненулевых начальных условиях емкость можно считать источником ЭДС с величиной равной 0, а индуктивность можно считать источником тока величиной равной i_L(+0) 0.

При условии, что , и оба действительные p_1,2 = , формула * выглядит так:

При , когда R_кр = 2 или получаем неопределенность типа . Это предельный случай апериодического разряда. R_кр – критическое сопротивление. Эту неопределенность раскрывают по Лапиталю.

=>

 

Когда корни комплексно-сопряженные , получим:

;

=>