Матрицы. Операции над матрицами: сложение , умножение матрицы на число, умножение матриц

Матрицей m × n называется прямоугольный массив чисел, состоящий из m строк и n столбцов. Количество строк и столбцов определяет размер матрицы. Отдельный элемент матрицы идентифицируется путем указания его строки и столбца в состоящем из двух элементов спсике индексов; первый индекс определяет строку, а второй — столбец. Ниже в качестве примера приведены матрицы M размером 3 × 3, В размером 2 × 4 и С размером 3 × 2:

 

Сложение матриц

Определение 14.2 Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , .

Другими словами, при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

 

Умножение матрицы на число

 

Определение 14.3 Произведением матрицы размеров на число называется матрица таких же размеров, у которой , , .

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например, .

Операцию вычитания матриц можно определить следующим способом:

что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

 

Умножение матриц

Чтобы получить произведение матриц AB необходимо чтобы количество столбцов матрицы A было равно количеству строк матрицы B. Если условие выполняется, произведение матриц определено. Рассмотрим представленные ниже матрицы A и B, с размерностью 2 × 3 и 3 × 3 соответственно:

 

 

Если A — это матрица m × n, а B — матрица n × p, то их произведением будет матрица C, размером m × p, в которой элемент c_ij находится как скалярное произведение i -го вектора-строки матрицы A и j -го вектора-столбца матрицы B:

 

В этой формуле a _i обозначает i -ый вектор-строку в матрице A, а b _j — j -ый вектор-столбец матрицы B.

Давайте для примера вычислим произведение:

 

 

Произведение определено, поскольку количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B. Кроме того, обратите внимание, что размер полученной в результате матрицы — 2 × 2. Согласно формуле (4) получаем:

 

 

В качестве упражнения проверьте, что в данном случае AB ≠ BA.

 

. Свойства этих операций

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями, обладают следующими свойствами:

1. 
2. 
3. ;
4. 
5. ;
6. ;
7. .

Здесь -- матрицы, -- числа, 0 -- нулевая матрица.