Эффективное электрон-электронное взаимодействие.

Микроскопическая теория сверхпроводимости была создана в работах Купера, Бардина, Шриффера в 1957 году. Причиной возникновения сверхпроводящего состояния является взаимодействие электронов с колебаниями кристаллической решетки. За счет движения ионов кулоновское взаимодействие между электронами может переформироваться и стать эффективным притяжением между электронами, имеющими энергии вблизи поверхности Ферми. Электроны поляризуют решетку, и возникающая поляризация чувствуется другими электронами, в результате чего возникает эффективное притяжение.

Строгий расчет межэлектронного взаимодействия в присутствии фононов – очень сложная задача. Будем рассматривать простейшую модель, в которой ионы описываются как набор частиц, взаимодействующих по закону Кулона как между собой, так и с электронами. Учтем экранировку взаимодействия всеми заряженными частицами в металле (электронами и ионами).

(11)

Если рассматривать только экранировку электронами, считая потенциал ионов добавкой к внешнему потенциалу и наоборот, можно получить следующее выражение:

(12)

описывается формулой Линдхарта, описывающей экранирование Томаса-Ферми:

, (13)

Можно показать, что диэлектрическая проницаемость голых ионов (в отсутствии электронов) в пределе высоких частот, когда ионы ведут себя как свободные, определяется следующим выражением:

, (14)

Выражение (14) можно получить из уравнения:

При наличии электронов поля, созданные ионами ослабляются в раз, и, следовательно, уменьшается в раз частота собственных колебаний (фононная частота):

Тогда и эффективный потенциал взаимодействия электронов:

(15)

( и - различные импульсы электронов), – волновой вектор Томаса-Ферми, – частота фононов с учетом экранирования электронами, – частота перехода между состояниями и .

Таким образом выражение (15) определяет взаимодействие двух электронов, разность энергий которых , а разность импульсов .

Второе слагаемое можно интерпретировать, как энергию взаимодействия между электронами, обусловленную виртуальным обменом фононами. Это взаимодействие соответствует притяжению, если .

При малых значениях и второе слагаемое выражения (15), описывающее электрон-фононное взаимодействие, отрицательно, и в координатном представлении мы бы получили точечное взаимодействие . Такой потенциал в виде притяжения к одной точке соответствует модели БКШ.

Наличие электронов энергетической щели над основным состоянием приводит к устойчивости возбужденных состояний, соответствующих прохождению тока через металл, что и приводи к сверхпроводимости.