Ядро линейного оператора. Основные св-ва.
Ядром линейного оператора А, действующего в линейном пространстве V называют множество таких векторов Х пространства V, которые линейные оператор А переводит в нулевой вектор пространства V. Обозначение: KerA={х€VlAх=0} KerA<V (т.е ядро является подпространством линейного пространства V) Дефектом конечномерного линейного оператора А называется размерность ядра оператора А. Обознач.: defA=dim(KerA) Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения: 1. сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: Def(A) + Rg(A) = n; 2. ранг оператора равен рангу его матрицы; 3. ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора; 4. столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора. 5. Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.
|
