Матричная запись линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Комментарий: порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

Пусть L- линейное пространство над полем K, A:L→L - линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор x€L, что для некоторого λ€K Ax=λx x€L

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число λ€K, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax=λx имеет ненулевое решение x€L.

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа λ€K (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов x€L, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Eλ. По определению, Eλ=ker(A- λE),где E — единичный оператор.