Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Собственные подпространства.





Любая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному тому же собственному числу , является собственным вектором, относящимся к тому же собственному числу . Отсюда следует, то все собственные векторы, соответствующие одному и тому же числу , образуют линейное пространство, которое является подпространством в .

Докажем теорему о том, что собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, образуют линейно независимую систему.

Пусть . Предположим (от противного), что - линейно зависимая система, это означает, что векторы коллинеарны: .

С одной стороны, , но то же время . Получается, что , то есть , что противоречит тому, что собственные числа различны. Итак, предположение коллинеарности собственных векторов, относящихся различным собственным числам, было неверно, значит эти векторы образуют линейно- независимую систему, что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для системы из n векторов. Если система собственных векторов, относящихся соответственно к , является линейно зависимой, то один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Положим для определённости . Тогда:

, но в то же время . Тогда разность:

, что означало бы для всех индексов i. Но по условию, собственные числа различны. Получили противоречие. Следовательно, система векторов линейно независима.

Ядро линейного оператора. Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов пространства, для которых . Легко доказывается, что все такие векторы образуют подпространство:

,то есть линейная комбинация векторов принадлежащих ядру оператора, тоже принадлежит ядру. Очевидно, ядро является собственным подпространством, соответствующим числу .

Докажем, что если существует хотя бы один ненулевой вектор, отображаемый линейным оператором в 0, то этот оператор не будет обратимым.

Пусть , то есть вектор принадлежит ядру оператора. Тогда для матрицы этого оператора верно , то есть однородная система

имеет нетривиальное решение. Отсюда следует, что матрица А (а это одновременно и основная матрица данной системы уравнений, и матрица линейного оператора) является вырожденной, то есть не существует обратной матрицы, следовательно, для оператора не существует обратный оператор .

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 499. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...

Основные структурные физиотерапевтические подразделения Физиотерапевтическое подразделение является одним из структурных подразделений лечебно-профилактического учреждения, которое предназначено для оказания физиотерапевтической помощи...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия