Студопедия — Собственные подпространства.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Собственные подпространства.






Любая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному тому же собственному числу , является собственным вектором, относящимся к тому же собственному числу . Отсюда следует, то все собственные векторы, соответствующие одному и тому же числу , образуют линейное пространство, которое является подпространством в .

Докажем теорему о том, что собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, образуют линейно независимую систему.

Пусть . Предположим (от противного), что - линейно зависимая система, это означает, что векторы коллинеарны: .

С одной стороны, , но то же время . Получается, что , то есть , что противоречит тому, что собственные числа различны. Итак, предположение коллинеарности собственных векторов, относящихся различным собственным числам, было неверно, значит эти векторы образуют линейно- независимую систему, что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для системы из n векторов. Если система собственных векторов, относящихся соответственно к , является линейно зависимой, то один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Положим для определённости . Тогда:

, но в то же время . Тогда разность:

, что означало бы для всех индексов i. Но по условию, собственные числа различны. Получили противоречие. Следовательно, система векторов линейно независима.

Ядро линейного оператора. Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов пространства, для которых . Легко доказывается, что все такие векторы образуют подпространство:

,то есть линейная комбинация векторов принадлежащих ядру оператора, тоже принадлежит ядру. Очевидно, ядро является собственным подпространством, соответствующим числу .

Докажем, что если существует хотя бы один ненулевой вектор, отображаемый линейным оператором в 0, то этот оператор не будет обратимым.

Пусть , то есть вектор принадлежит ядру оператора. Тогда для матрицы этого оператора верно , то есть однородная система

имеет нетривиальное решение. Отсюда следует, что матрица А (а это одновременно и основная матрица данной системы уравнений, и матрица линейного оператора) является вырожденной, то есть не существует обратной матрицы, следовательно, для оператора не существует обратный оператор .

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 468. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия