Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нахождение собственных чисел и собственных векторов





Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Замечание. Если рассматривать нулевой вектор, то он был бы собственным для любого числа , потому что . Таким образом, в определении вектор 0 исключается из рассмотрения, однако 0-вектор включается в собственное подпространство (п.3.3.).

Определение. Пусть - матрица линейного оператора . Матрица называется характеристической матрицей линейного оператора, уравнение - характеристическим уравнением, а его корни – характеристическим корнями линейного оператора.

Докажем, что любое собственное число является характеристическим корнем.

Пусть - собственное число, то есть для некоторого вектора выполняется . Запишем это равенство подробнее:

Умножаем матрицу на вектор, и затем в получившейся системе уравнений переносим все слагаемые в правую часть. Получается однородная система уравнений, которую можно записать в виде:

Основная матрица этой системы – матрица . Для однородной системы существует нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её матрица вырождена, таким образом, , то есть, если - собственный вектор, то число является характеристическим корнем.

Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1) Найти корни характеристического уравнения .

Замечание. Можно также найти корни уравнения , но в этом случае при нечётном порядке матрицы, коэффициент при будет отрицательный.

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу ). При изучении линейной алгебры наиболее часто рассматривают собственные числа и векторы для операторов в . В этом случае характеристическое уравнение будет третьей степени. Можно найти 3 корня с помощью теоремы Виета, либо найти их поочерёдно следующим способом. Допустим, нам известен один характеристический корень , тогда можем поделить характеристический многочлен на , причём деление будет без остатка, так как - корень многочлена. Частное – многочлен степени 2, в свою очередь его 2 корня легко могут быть найдены через дискриминант. Для нахождения какого-либо одного корня уравнения третьего порядка можно применять следующее утверждение из общей алгебры:

Если число – рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами , то коэффициент делится на , делится на .

Доказательство. Если - корень, то , умножим равенство на : получаем , следовательно, . Правая часть этого равенства делится на , поэтому левая часть тоже делится на , то есть – целое число, но так как и взаимно простые числа, то делится на . Аналогично, делится на , так как , откуда следует что делится на .

Таким образом, можно легко установить конечное множество возможных рациональных, в том числе целых, корней многочлена, и найти все корни, проводя проверку чисел из этого множества.

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 535. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия