Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нахождение собственных чисел и собственных векторов





Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Замечание. Если рассматривать нулевой вектор, то он был бы собственным для любого числа , потому что . Таким образом, в определении вектор 0 исключается из рассмотрения, однако 0-вектор включается в собственное подпространство (п.3.3.).

Определение. Пусть - матрица линейного оператора . Матрица называется характеристической матрицей линейного оператора, уравнение - характеристическим уравнением, а его корни – характеристическим корнями линейного оператора.

Докажем, что любое собственное число является характеристическим корнем.

Пусть - собственное число, то есть для некоторого вектора выполняется . Запишем это равенство подробнее:

Умножаем матрицу на вектор, и затем в получившейся системе уравнений переносим все слагаемые в правую часть. Получается однородная система уравнений, которую можно записать в виде:

Основная матрица этой системы – матрица . Для однородной системы существует нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её матрица вырождена, таким образом, , то есть, если - собственный вектор, то число является характеристическим корнем.

Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1) Найти корни характеристического уравнения .

Замечание. Можно также найти корни уравнения , но в этом случае при нечётном порядке матрицы, коэффициент при будет отрицательный.

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу ). При изучении линейной алгебры наиболее часто рассматривают собственные числа и векторы для операторов в . В этом случае характеристическое уравнение будет третьей степени. Можно найти 3 корня с помощью теоремы Виета, либо найти их поочерёдно следующим способом. Допустим, нам известен один характеристический корень , тогда можем поделить характеристический многочлен на , причём деление будет без остатка, так как - корень многочлена. Частное – многочлен степени 2, в свою очередь его 2 корня легко могут быть найдены через дискриминант. Для нахождения какого-либо одного корня уравнения третьего порядка можно применять следующее утверждение из общей алгебры:

Если число – рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами , то коэффициент делится на , делится на .

Доказательство. Если - корень, то , умножим равенство на : получаем , следовательно, . Правая часть этого равенства делится на , поэтому левая часть тоже делится на , то есть – целое число, но так как и взаимно простые числа, то делится на . Аналогично, делится на , так как , откуда следует что делится на .

Таким образом, можно легко установить конечное множество возможных рациональных, в том числе целых, корней многочлена, и найти все корни, проводя проверку чисел из этого множества.

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 535. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...

Основные структурные физиотерапевтические подразделения Физиотерапевтическое подразделение является одним из структурных подразделений лечебно-профилактического учреждения, которое предназначено для оказания физиотерапевтической помощи...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия