Управления и радиоэлектроники

http://blog.shikate.ru/category/shikate/bibliotechnyj-yumor/

Томский государственный университет систем

Кафедра высшей математики (ВМ)

Приходовский М.А.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Практическое пособие и комплект задач

 

 

Содержание

§1. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.

1.2 Графическое представление линейного оператора.

§2. Построение матрицы линейного оператора.

2.1 Построение матрицы по заданной формуле отображения.

2.2 Построение матрицы по отображаемым системам векторов.

2.3 Прочие способы нахождения матрицы оператора.

2.4 Сумма, произведение линейных операторов.

§3. Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

3.1 Все характеристические корни действительны и различны.

3.2 Среди характеристических корней есть кратные.

3.3 Не все характеристические корни действительны.

3.3 Собственные подпространства.

3.5 Матрица линейного оператора в новом базисе.

3.6 Построение матрицы оператора по известным собственным числам и векторам.

§4. Симметрические операторы. Квадратичные формы.

4.1 Симметрические операторы и их свойства.

4.2 Билинейные и квадратичные формы.

§5. Приложения. Задачи для самостоятельного решения.

 

Разработчик: доцент кафедры ВМ

Приходовский Михаил Анатольевич
§1. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.

Определение 1. Отображение L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором, если для любых векторов из и любой константы a выполняются равенства:

1)

2)

Эти 2 равенства эквивалентны 3):

3)

Заметим, что линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, .

Любая матрица размера задаёт линейное отображение пространства в пространство . Действительно, матрицу из n столбцов можно умножить на любой вектор-столбец, состоящий из n координат, так как размеры и согласованы. В частности, квадратную матрицу порядка n можно умножать на вектор-столбец, состоящий из n координат, так как размеры матриц будут n´n и n´1, и результатом будет матрица-столбец размера n´1.

 

Таким образом, каждая квадратная матрица задаёт преобразование, или отображение, в пространстве размерности n.

Отображения, вводимые таким образом, будут линейными, что следует из свойств умножения матриц:

для любых матриц A,B,C, размеры которых согласованы и возможно их умножение, поэтому

Аналогично из свойства следует .

Если отобразить вектор то получим

То есть образом будет вектор, координаты которого есть элементы первого столбца в матрице, задающей отображение. Аналогично, для вектора e_i образ будет вектором, координаты которого – элементы столбца номер i рассматриваемой матрицы.

Итак, матрица задаёт линейное отображение векторов. С другой стороны, любое линейное отображение L конечномерных пространств можно задать с помощью матрицы.

Представим вектор x в виде , где - координаты, - базисные векторы, то по свойству линейности оператора получим ,

откуда видно, что образ вектора зависит лишь от координат этого самого вектора и от того, куда отображаются оператором n базисных векторов пространства, то есть зависит от векторов . Матрица, составленная из этих векторов (по столбцам), является матрицей линейного оператора.

Замечание. Для сравнения рассмотрим линейный оператор, отображающий векторы в пространстве . Этот оператор – знакомое ещё из школы линейное отображение вида . Причём коэффициент может рассматриваться в качестве матрицы оператора (матрица порядка 1), x – вектор в пространстве . Задать линейное отображение на элементе x = 1 достаточно, чтобы знать образ любого числа x при таком отображении. Фактически, здесь число играет роль и матрицы размеров , и образа единицы: .