Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения прямой и плоскости





Уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат можно задать уравнением вида

для случая, когда прямая не параллельна оси OY, и уравнением

для вертикальной прямой. Но прямая может быть также задана и другим способом. Достаточно указать вектор направления этой прямой и какую-нибудь точку , лежащую на этой прямой. При этом точки, лежащие на прямой, могут быть заданы с использованием векторных операций в виде так называемого параметрического уравнения прямой

в котором параметр t пробегает все значения числовой прямой. Координаты точки, соответствующей некоторому значению этого параметра, определяются соотношениями

(3.4)

Прямую в пространстве тоже можно задавать параметрическим уравнением, которое очень легко получить из предыдущего простым переходом от двумерных векторов к трехмерным. Пусть . Тогда это уравнение будет определять прямую в пространстве, а координаты точек этой прямой будут определяться формулами

(3.5)

Как известно из элементарной геометрии, через любые три точки в пространстве проходит плоскость. С другой стороны, через каждую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. При этом все эти прямые будут параллельны друг другу, а значит, они имеют общий вектор направления. Этот вектор будем называть нормалью к плоскости. Если длина вектора равна единице, мы будем называть его единичной нормалью. В компьютерной графике часто приходится решать задачу построения нормали к некоторой плоскости, заданной тремя точками, а также задачи пересечения прямой с плоскостью и двух плоскостей.

Плоскость в пространстве можно задать, указав вектор нормали к ней и какую-либо точку, принадлежащую данной плоскости. Пусть - вектор единичной нормали, а - некоторая точка на плоскости. Тогда для любой точки , лежащей на плоскости, вектор будет ортогонален вектору нормали, а следовательно, выполняется равенство

Раскрывая это выражение в координатном виде, получаем

Теперь перепишем это уравнение в виде

(3.6)

где . Это уравнение называется каноническим уравнением плоскости. При этом совершенно ясно, что если все это уравнение умножить на какой-либо отличный от нуля множитель, то оно будет описывать ту же самую плоскость, т.е. коэффициенты для каждой плоскости задаются с точностью до произвольного ненулевого множителя. Но если при этом вектор имеет единичную длину, то задает расстояние от начала координат до данной плоскости.

В алгоритмах компьютерной графики довольно часто приходится сталкиваться с задачей построения плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть три точки , и , не лежащие на одной прямой, имеют координатами и . Для канонического уравнения необходимо построить нормаль к плоскости, что легко можно осуществить, используя операцию векторного произведения. Поскольку векторы и лежат в искомой плоскости, то вектор будет ортогонален этой плоскости. Пусть , тогда уравнение плоскости будет иметь вид

Остается определить значение . Так как точка принадлежит этой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Подставим их в уравнение и получим

следовательно

и после подстановки окончательно получим:

(3.7)

В большинстве алгоритмов, использующих плоскости, достаточно знать нормаль к ней и какую-либо точку, принадлежащую плоскости. Очевидно, что по аналогии можно вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, если задана нормаль к ней и принадлежащая прямой точка.







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 820. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Почему важны муниципальные выборы? Туристическая фирма оставляет за собой право, в случае причин непреодолимого характера, вносить некоторые изменения в программу тура без уменьшения общего объема и качества услуг, в том числе предоставлять замену отеля на равнозначный...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия