Пересечение луча с плоскостью и сферой
Прямая на плоскости и в пространстве является бесконечной в обе стороны. Лучом называется полупрямая, т.е. множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от заданной ее точки, называемой началом луча. Луч будем задавать в параметрическом виде, как это было описано в одном из предыдущих разделов. Пусть
Будем считать, что направляющий вектор единичный, т.е. Сначала рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения луча с плоскостью, заданной каноническими уравнением
Вектор нормали
откуда легко определить, что луч пересекает плоскость в точке со значением
Очевидно, что такая точка существует только при условии Пусть теперь нам задана сфера с центром в точке
Подставив сюда координаты луча из уравнения (3.9), получим, что параметр, при котором луч пересекает сферу, должен удовлетворять квадратному уравнению
где
Лекция №3 (продолжение)
|
- направляющий вектор прямой, а 
- начальная точка. Тогда координаты точек луча будут определяться формулами
.
тоже будем считать единичным. Сначала надо определить значение параметра t, при котором луч пересекает плоскость. Для этого подставим координаты из формулы (3.8) в уравнение (3.9) и получим
. В свою очередь, эта величина обращается в нуль только в случае, когда векторы 
и 
ортогональны друг другу.
и радиусом 
. Тогда уравнение сферы будет иметь вид
. Определим корни этого уравнения. Если дискриминант 
, то корни существуют. Их может быть либо два 
, либо один 
. В первом случае имеем две точки пересечения, во втором - одну (луч касается сферы). Соответствующие значения параметра определяются соотношением
