Пересечение луча с плоскостью и сферой

Прямая на плоскости и в пространстве является бесконечной в обе стороны. Лучом называется полупрямая, т.е. множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от заданной ее точки, называемой началом луча. Луч будем задавать в параметрическом виде, как это было описано в одном из предыдущих разделов. Пусть - направляющий вектор прямой, а - начальная точка. Тогда координаты точек луча будут определяться формулами

(3.8)

Будем считать, что направляющий вектор единичный, т.е. .

Сначала рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения луча с плоскостью, заданной каноническими уравнением

(3.9)

Вектор нормали тоже будем считать единичным. Сначала надо определить значение параметра t, при котором луч пересекает плоскость. Для этого подставим координаты из формулы (3.8) в уравнение (3.9) и получим

откуда легко определить, что луч пересекает плоскость в точке со значением

Очевидно, что такая точка существует только при условии . В свою очередь, эта величина обращается в нуль только в случае, когда векторы и ортогональны друг другу.

Пусть теперь нам задана сфера с центром в точке и радиусом . Тогда уравнение сферы будет иметь вид

Подставив сюда координаты луча из уравнения (3.9), получим, что параметр, при котором луч пересекает сферу, должен удовлетворять квадратному уравнению

где . Определим корни этого уравнения. Если дискриминант , то корни существуют. Их может быть либо два , либо один . В первом случае имеем две точки пересечения, во втором - одну (луч касается сферы). Соответствующие значения параметра определяются соотношением

Лекция №3 (продолжение)