Вращение относительно произвольной оси также можно реализовать посредством умножения матрицы на вектор, но предварительно эту матрицу надо построить. Предположим, что прямая проходит через начало координат и задана единичным вектором
, и требуется выполнить поворот точки на угол
относительно нее. Для этого воспользуемся следующим алгоритмом:
1. Совместим прямую с осью
посредством поворота системы координат относительно оси
на угол
, а затем поворота относительно оси
на угол
.
2. Выполним поворот относительно оси
на угол
.
3. Выполним повороты системы сначала относительно оси
на угол
, а затем относительно оси
на угол
(в обратном порядке по отношению к первым поворотам), тем самым возвращая ее в исходное положение.
Итоговая матрица преобразования, таким образом, является произведением нескольких матриц, а именно
![](https://konspekta.net/studopediainfo/baza8/4846557195576.files/image658.gif)
Матрицы
являются матрицами преобразования координат при поворотах системы координат, как было показано в предыдущем разделе. Определим сначала угол
, который является углом между осью
и его проекцией вектора
на плоскость
. Пусть
- длина этой проекции. Тогда
, (синус отрицателен, поскольку поворот идет от оси
к оси
, т.е. в отрицательном направлении). После поворота системы координат новыми координатами вектора
будут
. Угол
- это угол между векторами
и
, поэтому
. Теперь мы можем выписать вид матриц преобразования координат для каждого шага алгоритма, учитывая то, что матрицы преобразования координат при повороте системы координат обратны по отношению к соответствующим матрицам вращения:
![](https://konspekta.net/studopediainfo/baza8/4846557195576.files/image681.gif)
Нетрудно убедиться, что последовательное умножение матриц
и
на вектор
дадут в результате вектор
, т.е. этот вектор действительно станет осью аппликат.
Остается только выписать окончательный вид матрицы
(для сокращения записи введем следующие обозначения:
):
| (3.13)
|
Напомним, что
являются направляющими косинусами прямой, относительно которой выполняется поворот. Нетрудно убедиться, что если в качестве осей вращения взять оси координат, то мы в точности получим формулы (3.10).
Вопросы и упражнения
- Дайте определение декартовой системы координат.
- Что такое вектор?
- Какие векторы считаются равными?
- Какие векторы называются линейно независимыми?
- Как выразить длину вектора, используя операцию скалярного произведения?
- Как определить косинус угла между векторами, используя операцию скалярного произведения?
- Докажите, что векторное произведение удовлетворяет соотношению
![](https://konspekta.net/studopediainfo/baza8/4846557195576.files/image697.gif)
- Как из произвольного вектора
получить единичный вектор, совпадающий с ним по направлению? (Эта операция называется нормировкой вектора). - Каково максимальное число линейно независимых векторов в пространстве?
- Что такое орты?
- Как построить параметрическое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости или пространства?
- Докажите, что если в формуле (3.7) заменить координаты
координатами любой другой точки плоскости, то уравнение будет описывать ту же самую плоскость. Указание: возьмите произвольную точку, удовлетворяющую уравнению (3.7), напишите новое уравнение плоскости и покажите, что любая точка второй плоскости принадлежит первой и наоборот. - В каких случаях луч с плоскостью не пересекаются?
- В каких случаях луч пересекает сферу только в одной точке?
- Исходя из определения умножения матрицы на вектор, докажите, что для любых двух векторов
и любой матрицы
справедливо соотношение
![](https://konspekta.net/studopediainfo/baza8/4846557195576.files/image702.gif)
- Докажите, что для любого вектора
, числа
и матрицы
справедливо соотношение
![](https://konspekta.net/studopediainfo/baza8/4846557195576.files/image707.gif)
- При каком условии масштабирование сохраняет углы между отрезками?
- Какую траекторию описывают точки объекта при повороте?
- Вокруг чего осуществляется поворот на плоскости?
- Вокруг чего осуществляется поворот в пространстве?
- Какие шаги выполняются в алгоритме поворота относительно произвольной оси в пространстве?
- Докажите, что если матрица
является матрицей поворота, то
.