Аналитическое представление кривых и поверхностей

Пусть на плоскости задана декартова система координат.

Кривая на плоскости - это геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению

(3.10)

где - функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению

не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению

удовлетворяет только одна точка .

Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр)

(3.11)

где и - непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функция такова, что можно выразить через , то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (3.10):

Систему уравнений (3.11) можно записать в векторном виде:

Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид

или

Окружность радиуса с центром в точке может быть представлена параметрическими уравнениями

Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.

Поверхность в пространстве - это геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению вида

(3.12)

Так же как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению

не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):

(3.13)

Например, сфера радиуса с центром в точке может быть задана уравнением

либо же параметрическими уравнениями

Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т.е. с помощью системы уравнений

(3.14)

или параметрическими уравнениями вида

(3.15)