Измерение физических величин и графическое представление результатов измерений.

 

При измерении физических величин в лабораторном практикуме из систематических погрешностей во внимание принимаются, как правило, только приборные как легко учитываемые. В таком случае в погрешность определяемой величины входят две составляющие: случайная (статистическая) и систематическая (приборная) (предполагаем, что промахи отсутствуют):

Если приборная погрешность значительно больше случайной, то при многократных измерениях практически получается один и тот же результат. Этот недостаток присущ, в основном, стрелочным приборам, подвижная часть которых, связанная со стрелкой, бывает настолько инерционной, что либо не реагирует на малые случайные отклонения, либо эти отклонения настолько малы, что их практически невозможно регистрировать. Такой прибор принято называть грубым. Точный прибор характеризуется меньшей систематической (приборной) погрешностью по сравнению со случайной, и поэтому на распределение полученных с его помощью результатов измерений сказывается случайный разброс. Точными приборами являются цифровые вольтметры, электронные секундомеры и весы, измерители сопротивлений, емкостей и индуктивностей и т.д. Полученные с их помощью значений одной и той же измеряемой физической величины при неизменных контролируемых условиях следует обрабатывать как результаты прямых многократных измерений.

Если измерения проводят с помощью грубого и точного приборов, то необходимо исключить просчеты (промахи), связанные с отсутствием навыков измерения. Особое значение это имеет для уменьшения различия в показаниях механического и электронного секундомеров, обусловленного реакцией исследователя и проявляющегося в недновременности как включения, так и выключения счетного устройства. После нескольких измерений отрезков времени (длительностью, например, 60 секунд) с помощью электронного секундомера удается их фиксировать с погрешностью в несколько сотых секунды. Просчетов на механическом секундомере в силу его большей приборной погрешности избежать значительно легче.

Перед проведением статистического анализа целесообразно проверить, не изменяются ли измеренные значения регулярным образом со временем. Такое изменение называется дрейфом. Для выяснения этого вопроса необходимо построить график зависимости результатов измерения от времени (рис. 2).

 

а) б)

 

Рис.2. Зависимость значений результатов измерения от порядкового номера отсчета (от времени): а – дрейф отсутствует, б – дрейф наблюдается. Точки – экспериментальные значения, прямые – аппроксимация точек (проведена от руки).

 

На горизонтальной оси обычно откладывают порядковый номер результата отдельного измерения, на вертикальной оси – сам результат. На рис.2а дрейф отсутствует, на рис.2б результаты систематически увеличиваются с течением времени (с увеличением порядкового номера наблюдения ).

При наличии дрейфа следует установить, связан ли он с неисправностью прибора (устранить ее или заменить прибор) или с закономерным изменением определяемой величины (здесь необходимо специальное исследование). При отсутствии дрейфа нужно построить экспериментальную гистограмму, показывающую, как часто получаются те или иные значения . Если – число измерений, попадающих в любой из одинаковых интервалов (ячейка гистограммы), на которые разбивается весь диапазон значений определяемой величины, то величина

является оценкой вероятности того, что величина находится в пределах ячейки. Кривая, наилучшим образом описывающая экспериментальное распределение вероятности, называется законом распределения. В случае нормального распределения в качестве оценки берут среднее квадратическое отклонение отдельного измерения (5). Относительная погрешность такой оценки зависит от числа измерений и при небольшом она велика. При 50 измерениях относительная погрешность составляет приблизительно 22%, поэтому достаточно сделать 40–50 измерений. Оценить величину можно, не прибегая к формуле (5), а используя кривую закона распределения: величина параметра равна полуширине кривой на уровне долей ее максимального значения.

 

2. Пример построения гистограммы экспериментальных значений определяемой величины и оценки параметров и из кривой закона распределения.

 

Пусть проведено 50 отсчетов величины напряжения, из которых , а . Эти значения укладываются в диапазоне напряжений . Если принять, что в одну ячейку гистограммы попадает не менее 4 значений, то при общем числе наблюдений 50 весь диапазон величины можно разбить не более, чем на одинаковых интервалов или ячеек гистограммы. Учтем неравномерность распределения результатов наблюдений по всему диапазону. Это уменьшает число ячеек примерно в 1,5 – 2 раза. Возьмем 6 ячеек. Длина ячеек будет равна примерно . Так как измеренные значения содержат сотые доли, то длину ячейки нужно брать равной 0,09 или 0,10 В. Выбрав значение 0,09 В, мы уменьшим общую длину всех ячеек и потеряем часть измерений при построении гистограммы ( место ). Поэтому следует несколько расширить диапазон значений так, чтобы он включал в себя разность . В данном конкретном случае в качестве минимального целесообразно взять значение , а в качестве максимального – , размер ячейки – . Обозначение ячеек, полученных при таком разбиении, приведены во второй колонке таблицы 4.

Распределим полученные значения величины по ячейкам и числа результатов, отнесенных к соответствующим интервалам, запишем в третью колонку таблицы 4. Поделив эти числа на общее число наблюдений , получим значения , которые занесем в четвертую колонку.

Гистограмму и график закона распределения следует нанести на миллиметровую бумагу, как это показано на рис.3. По оси абсцисс принято откладывать измеряемую величину , по оси ординат – числа измерений и величину . Масштаб удобно выбрать таким, чтобы единице измеряемой величины (или 10; 100 единицам; 0,1 единицы и т.д.) соответствовал 1 см на миллиметровой бумаге. Удобным является также масштаб, при котором 1 см соответствует 2 или 5 единицам.

Напомним, что пересечение координатных осей не должно обязательно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции (необходимо полностью использовать все поле чертежа).

При построении кривой закона распределения через точки на ступеньках гистограммы (эти точки соответствуют середине интервалов ) следует наилучшим образом провести колоколообразную кривую. Так как значения функции в указанных точках имеют погрешности, то необязательно все экспериментальные точки должны лежать на кривой.

 

Таблица 4

 

№ п/п	Ячейки гистограммы , В	Число наблюдений в ячейке,
1.	19,75 – 19,85		0,04
2.	19,85 – 19,95		0,12
3.	19,95 – 20,05		0,34
4.	20,05 – 20,15		0,36
5.	20,15 – 20,25		0,12
6.	20,25 – 20,35		0,02

 

Из рисунка 3 видно, что на уровне 0,6 от максимального значения ширина кривой закона распределения , откуда следует, что , а , соответствующее максимальному значению ординаты, приближенно равно .

 

Рис.3. Гистограмма экспериментальных значений (1) и закона распределения (кривая 2).

 

Описание установки

 

В данной работе требуется провести многократные измерения интервала времени с помощью механического (грубый прибор) и электронного секундомеров (более точный прибор).

 

Порядок выполнения работы

 

1. Прежде чем приступить к выполнению работы необходимо ознакомиться с правилами пользования электронным секундомером. Соответствующая инструкция выдается лаборантом.

2. Получить у лаборанта механический секундомер. Интервал времени задается преподавателем.

3. С разрешения преподавателя включить тумблер электронного секундомера ’’Сеть’’ и дать прибору прогреться в течение 3 – 5 минут.

4. Измерить промежуток времени несколько раз механическим и электронным секундомерами, чтобы освоить технику измерений и исключить промахи, связанные с отсутствием опыта измерений (тренировочные измерения).

5. Провести многократные измерения интервалов времени электронным секундомером при условии одновременного запуска и остановки электронного и механического секундомеров (50 – 100 раз по заданию преподавателя). Результаты опыта занести в таблицу 5.

 

 

Таблица 5

 

№ п/п	Результаты отдельных измерений	Случайные отклонения от выборочного среднего
1. 2. 3.