ПОГРЕШНОСТИ МНОГОКРАТНЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ(случайные погрешности) Пусть изучается физическая величина и многократными измерениями получены результатов наблюдений , причем все измерения выполнены одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Этот ряд значений величины называется выборкой. Предположим, что на результат измерений оказывают действие только случайные (неконтролируемые) факторы, а промахи и систематические ошибки отсутствуют. Задача экспериментатора состоит в том, чтобы найти наилучшую оценку и доверительную погрешность результата измерений для заданного значения доверительной вероятности. (При обработке экспериментальных результатов можно поступать и по–другому: произвольно задавать значение доверительной погрешности и вычислять соответствующее ей значение вероятности). Указанная задача строго решается с помощью теории вероятностей и математической статистики. В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются установленному Гауссом нормальному закону распределения, вид которого может быть получен на основании следующих предположений: 1) величина случайной погрешности может иметь любое значение; 2) вероятность появления погрешности снижается с ростом ее величины – большие погрешности маловероятны; 3) погрешности, равные по величине, но разные по знаку, встречаются одинаково часто – равные по модулю погрешности равновероятны. Выведенный на основе указанных предположений закон нормального распределения случайных величин (распределение Гаусса) выражается формулой , (3) где – числовое значение определяемой величины , и – параметры распределения; – плотность вероятности (вероятность того, что значение принадлежит некоторому единичному интервалу значений), так что функция определяет вероятность попадания значения в интервал от до . Параметр , соответствующий максимуму плотности вероятности , называется математическим ожиданием случайной величины . Параметр называется средним квадратическим отклонением величины от ее математического ожидания и характеризует меру ее разброса относительно . Очевидно, что т.е. вероятность того, что случайная величина вообще имеет какое–то значение, равна единице. Поскольку максимальное значение плотность вероятности принимает при , то величину часто считают приблизительно равной истинному значению измеряемой величины. На рис. представлен график этой функции. Из вышесказанного ясно, что площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадает в интервал от до .
Рис.1. Нормальное (гауссово) распределение (1 – s=1, 2 – s=1/2, 3 – s=1/4).
Из теории следует, что наилучшей оценкой истинного значения измеряемой случайной величины является среднее арифметическое (выборочное среднее) значение . (4) Заметим также, что с увеличением значения увеличивается разброс отсчетов, т.е. точность измерений понижается. В условиях реального эксперимента точное значение , как правило, неизвестно. По многократным измерениям можно получить приближенную оценку этого параметра в виде с реднеквадратичной погрешности отдельного результата измерения , (5) которая характеризует ошибку каждого отдельного измерения и при неограниченном увеличении числа наблюдений () стремится к истинной среднеквадратичной ошибке . Если произвести несколько серий многократных измерений, т.е. получить несколько выборок и для каждой вычислить выборочное среднее, то получим выборку для новой случайной величины , которая также распределена нормально с математическим ожиданием . Однако параметр меньше, чем : . Это означает, что выборочное среднее имеет приблизительно в меньший разброс, чем единичное измерение . Поэтому для оценки лучше использовать выборочное среднее и с реднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата измерения, которая вычисляется по формуле , (6) В выражениях (5) и (6) обозначение среднеквадратичной ошибки заменено на обозначение , чтобы подчеркнуть, что величины и вычисляются на основе ограниченного числа наблюдений, т.е. являются эмпирическими оценками теоретических параметров и . При проведении реальных технических измерений число отдельных измерений, как правило, невелико и лежит в пределах от до . В такой ситуации рассмотренный метод приводит к существенному искажению результатов. В теории погрешностей при малом числе измерений применяют специальный метод вычисления доверительного интервала, основанный на распределении Стьюдента. В 1908 г. английский математик У. Госсет (псевдоним ’’Стьюдент’’) доказал, что указанными соотношениями можно пользоваться и при небольшом числе наблюдений (), следует только на конечной стадии ввести в расчет специальный коэффициент, величина которого зависит от числа наблюдений и требуемого значения доверительной вероятности , – так называемый коэффициент Стьюдента .
Таблица 1 Коэффициенты Стьюдента .
Выполнение и обработку результатов прямых многократных измерений рекомендуется производить в следующем порядке. 1. Прямыми измерениями получить ряд значений измеряемой величины. 2. Вычислить среднеарифметическое значение результата измерений . 3. Вычислить отклонения отдельных результатов наблюдений от среднего 4. Вычислить значения и сумму . 5. Для данных значений числа измерений и доверительной вероятности найти по таблице коэффициент Стьюдента и вычислить случайную погрешность . (7) 6. Округлив погрешность и предварительный результат, записать окончательный результат измерений в виде
Пример. Обработка результатов прямых многократных измерений диметра некоторого вала штангенциркулем. Получены 6 значений , которые внесены во 2–й столбец таблицы 2.
Таблица 2
|