Фракталы. Взгляните на рис. 24.6. На нем представлена замкнутая кривая, которая называется фрактальной кривой или просто фракталом

Взгляните на рис. 24.6. На нем представлена замкнутая кривая, которая называется фрактальной кривой или просто фракталом. Фрактал подобен острову с береговой линией, кажущейся ровной издали, но становящейся совершенно нерегулярной по мере приближения. Фигуру, показанную на рис. 24.6, можно построить с помощью рекурсии, причем с увеличении глубины рекурсии мы получим замкнутую область, граница которой становится очень большой по сравнению с самой областью.

 

 

С помощью программы SQFRACT можно получить такую картинку. Первые четыре аргумента функции side программы представляют собой координаты концевых точек A и B отрезка прямой линии. Но этот отрезок будет вычерчен только в том случае, если аргумент n функции side будет равен нулю. В противном случае на этом отрезке будут сформированы две новые точки P и S. Они будут определять концевые точки стороны уменьшенного квадрата (при равенстве PS = f * AB), как показано на (рис. 24.7). Из рисунка очевидно, что координаты точки Q можно вычислить следующим образом:

x_Q = x_P + (y_S - y_P)

y_Q = y_P + (x_S - x_P).

 

(Напомним, что аналогичный способ формирования новой точки уже обсуждался более подробно при рассмотрении кривой Гильберта). Координаты точки R определяются очень просто, поскольку она находится в таком же отношении к точке Q, как точка S относится к точке P. Теперь можно вычертить отрезок AP, выполнить рекурсивное обращение к функции side для сторон PQ, QR, RS меньшего квадрата и закончить вычерчиванием отрезка SB.

Вместо непосредственного вычерчивания отрезков AP и SB для них можно рекурсивно обратиться к функции side. Хотя в данном конкретном случае это и не дает удовлетворительного результата, но полезна сама идея. Она приводит к целому классу интересных новых кривых, состоящих из отрезков прямых линий, которые, в отличие от рис. 24.6, имеют почти одинаковую длину. (Напомним, что с подобной ситуацией мы встречались в случае кривых Гильберта).

Рассмотрим общую программу FRCURVE для генерации таких кривых. Во-первых, базовая фигура может быть задана либо в виде горизонтального отрезка прямой линии, либо в виде правильного многоугольника. Во-вторых, вместо вычисления позиций новых точек P, Q, R, S («модельных точек») относительно позиций концевых точек A и B, как на рис. 24.7, пользователь в качестве входных данных может задать любое количество таких точек, не обязательно четыре. Введем локальную систему координат, в которой точка A совпадает с точкой начала (0, 0), а точка B — с точкой (1, 0). Тогда позиции модельных точек могут быть выражены в этих локальных координатах. Рассмотрим для примера рис. 24.8, где определены три новые точки с координатами (x, y): (0.45, 0), (0.50, 0.45) и (0.55, 0).

 

Напомним, что обе концевые точки A(0, 0) и B(1, 0) неявно добавляются к модельным точкам, которые мы должны ввести, поэтому вообще число модельных точек всегда на две точки больше, чем заданное число. Если же всю фигуру целиком применять к каждой из ее четырех частей, то получим рис. 24.9 и так далее.

 

 

Поскольку мы можем задать правильный многоугольник, например, с четырьмя сторонами, то программа FRCURVE, в которой реализована эта операция, сформирует изображение, показанное на рис. 24.10.