Уравнение сохранения энергии

 

В общем случае закон сохранения энергии (первый закон термодинамики) можно сформулировать следующим образом: изменение энергии термодинамического тела (газа) равно сумме работы, совершенной средой над телом (dl_вн) и количества теплоты (dq_вн), подведенного к телу со стороны окружающей среды за некоторый промежуток времени.

Для 1 кг газа уравнение 1-го закона термодинамики в дифференциальной форме

de = dl_вн + dq_вн. (2.7)

Подводимые к газу работа и теплота считаются положительными, а отводимые – отрицательными. Тогда для компрессорных машин: dl_вн >0, dq_вн <0.

Для потока газа изменение энергии газа складывается из изменения кинетической энергии (), внутренней энергии (dU = c_vdT), потенциальной энергии в поле сил тяжести земли dh_z = gdz, тогда

. (2.8)

Для компрессорных машин работа, совершаемая против сил тяжести незначительна и можно принять dh_z ≈ 0.

Для потока газа, двигающегося по каналу между сечениями 1-1 и 2-2
(рис. 2.1) условный «поршень» в сечении 1-1 совершает работу по перемещению (проталкиванию) порции газа к сечению 2-2. Согласно принятому правилу знаков, эта работа положительна и равна (P ₁ v ₁). В то же время к «поршню» в сечении 2-2 подводится работа от газа и она равна (– P ₂ v ₂) [1].

Рис. 2.1. К первому закону термодинамики для потока газа

 

Таким образом, для перемещения порции газа между двумя сечениями со стороны внешней среды подводится так называемая работа проталкивания

,

или в дифференциальной форме

.

Кроме того, если к газу подводится работа от лопаток рабочего колеса, называемая в термодинамике технической (в теории турбокомпрессоров ее называют внутренней dl_i), то внешняя работа будет определяться как

. (2.9)

Подставим выражение (2.8) и (2.9) в (2.7)

, или

. (2.10)

Из термодинамики известно, что приращение энтальпии массы газа

. (2.11)

Подставляя (2.11) в (2.10), получим уравнение закона сохранения энергии в дифференциальной форме

. (2.12)

Проинтегрируем уравнение (2.12) между сечениями 1-1 и 2-2 канала с учетом принятых знаков для dl_i и dq_вн (в случае отвода теплоты в процессе сжатия)

, или

. (2.13)

Если в процессе сжатия в компрессоре тепло от газа не отводится (неохлаждаемые компрессоры), то, интегрируя уравнение (2.12) можно записать

. (2.14)

Из этого уравнения видно, что внешние теплота и работа, подводимые к 1 кг газа идут на изменение энтальпии и кинетической энергии. При l_i =0 и q_вн =0 в уравнении (2.14) полная энергия потока остается постоянной:

. (2.15)

Полными или заторможенными параметрами (i ^*, P ^*, T ^*) будет обладать газовый поток, если его представить неподвижным (заторможенным), но с энергией, равной энергии потока. Полные параметры имел бы газ, если бы его кинетическая энергия без теплообмена и потерь перешла бы во внутреннюю энергию. Такой процесс торможения соответствует адиабатному процессу.

Из условия постоянства полной энтальпии для совершенного газа можно записать выражение для полной температуры

. (2.16)

Из условия адиабатного процесса торможения можно определить полное давление

. (2.17)

 

Путем разложения в ряд выражения (2.17) можно получить формулу, справедливую при скоростях, достаточно удаленных от звуковой скорости

. (2.18)