Лінійна функція

V ₀(x) = (x – C w)/(s – b /s²) (4.31)

є одним із розв’язків цього рівняння. Загальний розв’язок (4.29) записують як суму V ₀(x) і розв’язок відповідного однорідного
рівняння

(4.32)

Очевидно, що (4.32) має два лінійно незалежних розв’язки — е ^{l х} і е ^{m х}. Тут

. (4.33)

Величини l, m — це корені відповідного характеристичного рівняння.

Отже, загальний розв’язок (4.29) має вигляд:

V (x) = V ₀(x) + Ce ^{l x} + C ⁰ e ^{m x}.

З (4.33) бачимо, що m > 0 > l. Отже, коли C ⁰ ¹ 0, то функція V (x), якщо х ® +¥,експоненціально зростатиме до +¥ або експоненціально спадатиме до –¥. Порівнюючи з детермінованим випадком, бачимо, що функція V (x) має зростати не швидше за x (t). Це можливо лише тоді, коли C ⁰ = 0.

Згідно з умовою V (0) = 0 маємо C = – V ₀(x). Далі запишемо

V (x) = x /d – (C w/d + b /d²) [1 – e ^{l x} ]. (4.34)

Зокрема, математичне сподівання інтегрально дисконтованого доходу від функціонування об’єкта з моменту, коли почалася на ньому відповідальна діяльність, після того як придбав його у власність даний підприємець, можна обчислити за формулою (4.34) за умови, що х = Х, тобто

.

Агрегування впливу випадкових чинників у один показник. Зауважимо, що коли w = k = s = 0 i R_j = R, то формула (4.34) перетворюється у формулу (4.24). Очевидно, що реальна динаміка доходу підприємства не завжди збігається з лінійною моделлю (4.22).

Тоді зручніше обмежитися прогнозуванням динаміки середнього значення доходу, агрегувавши в один показник усю наявну інформацію про вплив випадкових чинників.

У розвинутих країнах вплив чинників ризику і невизначеності враховується, по суті, встановленням відповідної норми дисконту (про що вже йшлося раніше).

Для того щоб обчислення за формулами (4.24) і (4.34) з нормами дисконту R i R_j давали однакові результати, має задовольнятися рівняння

(4.35)

Уведемо такі позначення:

С w/ X = g, d(s T / C)² = n, d T = a, RT = r. (4.36)

Співвідношення (4.35) можна подати у вигляді:

(4.37)

Отже, щоб визначити невідому норму дисконту, потрібно спочатку згідно з вихідною інформацією знайти ρ (розв’язок рівняння (4.37)) і, нарешті, обчислити R:

(4.38)

Це означає, що норма дисконту R з урахуванням ризику відріз­няється від δ коригуючим коефіцієнтом . Значення цього коефіцієнта, як бачимо, залежить лише від a, g та n.

Можна поглиблено проаналізувати вплив кожного з уведених чинників ризику.

Сформулюймо такий важливий висновок з побудованої моделі: норму дисконту R, знайдену розглянутим способом, не можна подати ні у вигляді сум безризикової складової R_j та деякої надбавки, яка враховує ризик (премія за ризик) і є незалежною від R_j, ні у вигляді добутку цієї складової і якогось більшого від одиниці коефіцієнта, який не залежить від R_j і враховує ризик.

Умовний приклад розрахунків норми дисконту з урахуванням чинників ризику. За одиницю вимірювання часу візьмемо один рік. Вважатимемо, що «збої» у виробництві виникають у середньому один раз на рік: , а час на ліквідацію наслідків збою підлягає експоненційному закону розподілу із середнім значенням q = 0,04 (приблизно двом тижням). Припустимо, що витрати, пов’язані з ліквідацією наслідків «збою», пропорційні витратам в одиницю часу, причому кожен день «збою» не лише призводить до відсутності відповідного доходу, а й потребує додаткових витрат, що становлять 50 % початкового доходу Х. За даних передумов із (4.26) та (4.27) знайдемо:

Поява нових технологій, упровадження яких зробить розглядуване виробництво збитковим, можна вважати малоймовірним. Якщо припустити, що такі «революції» в технології відбуваються в середньому три рази за сторіччя, то можна брати k = 0,03.

Запишемо співвідношення для параметрів, які входять до рівняння (4.37):

У цьому разі R залежатиме лише від R_f і T та співвідношення .

Порівнювання значень R та R_j підтверджує висновок про неадитивність і немультиплікативність впливу чинників ризику на норму дисконту.