Лекция 1. Основные сведения о матрицах

Лекция 1. Основные сведения о матрицах

 

На практике обширный числовой материал очень часто записывается в виде таблиц.

Пусть некая фирма производит товары трех наименований А, В, С и поставляет их в четыре магазина. Тогда объемы поставки за какой-то определенный день, например 1 сентября 2010 г., менеджер отдела сбыта может записать в виде таблицы

 

Номер магазина	Наименование изделия
А	В	С
№ 1
№ 2
№ 3
№ 4

 

Из таблицы видно, что в этот день фирма поставила магазину № 1 одно изделие А, два изделия В, а изделий С не поставляла. Магазину № 2 было поставлено два изделия А, три изделия В и одно изделие С и т.д. При каждодневной поставке менеджеру нет необходимости каждый раз писать «шапку» таблицы (он ее запоминает наизусть). Поэтому эту таблицу можно представить в следующем виде:

Такая таблица в математике называется матрицей.

 

Матрица — это прямоугольный массив чисел, записанный в форме строк и столбцов. Каждое число в матрице называется элементом матрицы.

 

Чаще всего матрица заключается в круглые скобки, но в литературе встречаются и другие обозначения. Например, вместо (…) пишут […] или ||…||.

Размерностью матрицы называется совокупность двух чисел, состоящая из числа ее строк m и числа столбцов n. Обычно пишут и читают: «размерность m на n». Но это не значит, что размерность матрицы представляет собой обычное произведение , которое равно количеству элементов матрицы.

Будем обозначать матрицы большими латинскими буквами А, В, С и т.д., а элементы матриц — соответствующими им малыми латинскими буквами с двумя индексами a_ij, b_ij, c_ij и т.д.: первый индекс i обозначает номер строки, в которой находится данный элемент, а второй индекс j — номер столбца. Индексы i, j определяют адрес элемента матрицы.

Тогда в общем виде матрица размерностью может быть записана следующим образом:

.

Иногда используют сокращенную запись матрицы А в виде или .

Если m = n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n. В квадратной матрице А элементы a ₁₁ , a ₂₂ , … a_nn образуют главную диагональ матрицы. Другая большая диагональ a _{1 n}, a _{2, n -1} , … a_{n 1} называется побочной диагональю.

Если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной.

►Пример 1.1. — диагональная матрица. ►

Если у диагональной матрицы все элементы, лежащие н а г л а в н о й диагонали, равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е (в ряде книг можно встретить обозначение I). Порядок единичной матрицы обычно определяется порядком матриц, с которыми производятся операции.

►Пример 1.2.

— единичная матрица 3-го порядка;

— единичная матрица 2-го порядка. ►

 

Если в квадратной матрице все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется треугольной.

►Пример 1.3. ; .

Здесь А и В — треугольные матрицы. ►

 

Если в квадратной матрице симметричные элементы относительно главной диагонали равны, т.е. a_ij = a_ji, то матрица называется симметрической.

►Пример 1.4. — симметрическая матрица. ►

Элемент строки матрицы любой размерности называется крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю.

Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

►Пример 1.5. Здесь крайний элемент каждой строки матрицы подчеркнут

. ►;

 

Если все элементы матрицы равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой О.

►Пример 1.6. Нулевая матрица . ►

Две матрицы называются равными тогда и только тогда, когда они одинаковой размерности и все элементы с одинаковыми адресами этих матриц равны.