Физические основы.

Известно, что свет можно рассматривать и как поток частиц (фотонов), распространяющихся по прямолинейным траекториям, и как электромагнитную волну, распространяющуюся в пространстве. При этом интенсивность света определяется амплитудой волны, а его цвет - частотой или длиной волны l. Сам процесс распространения света описывается уравнениями Максвелла.

Произвольный луч света можно рассматривать как сумму волн с различными длинами, распространяющихся в одном направлении. Вклад волны с длиной l определяется функцией I(l), называемой спектральной кривой (спектральной характеристикой, спектральной функцией) данного луча света.

В действительности один и тот же воспринимаемый глазом цвет может вызываться бесконечным количеством различных источников света с различными спектральными кривыми I(l). Поэтому при исследовании обычно ограничиваются конечным набором значений l, например для чистых красного (Red), зелёного (Green) и синего (Blue) цветов, и представляют все цвета в виде линейной комбинации этих базовых цветов. Именно таким образом организовано представление цветов и в телевизоре, и в дисплее.

При таком подходе вместо спектральной функции мы получаем трёхмерный вектор (I(l_Red), I(l_Green), I(l_Blue)).

Далее будем рассматривать распространение монохромной волны с длиной l.

Процесс распространения света распадается на две части - распространение света в однородной среде и взаимодействие света с границей раздела двух сред. Когда волна (луч света) попадает на границу раздела двух сред, происходят его отражение и преломление.

Распространение света в однородной среде.

Распространение света в однородной среде происходит вдоль прямолинейной траектории с постоянной скоростью. Отношение скорости распространения света в вакууме к этой скорости называется коэффициентом преломления (индексом рефракции) среды:

(2.1)

Обычно этот коэффициент зависит от длины волны l.

При распространении света в поглощающей среде имеет место экспоненциальное затухание по закону Бугера - Ламберта:

(2.2)

где I₀ - освещённость при нулевой толщине среды,

b - коэффициент затухания (коэффициент поглощения среды),

l - расстояние, пройденной лучом в среде.

2. Определение вектора отражения.

Рассмотрим случай зеркального (идеального) отражения.

Луч падает в точку Q в направлении v и отражается в направлении, задаваемом вектором r, определяемым следующим законом: вектор r лежит в той же плоскости, что и вектор v и вектор нормали к поверхности в точке падения n, а угол падения q _v равен углу отражения q_r

Зеркальное отражение и идеальное преломление

Будем считать все векторы единичными.

Тогда из первого условия следует, что вектор r равен линейной комбинации векторов v и n, то есть

r = a v + b n.

Так как q _v = q_r, то

(- v, n) = cos q _v = cos q_r = (r, n).

Отсюда легко получается

r = v - 2(v, n) n. (2.3)

Несложно убедиться, что вектор, задаваемый соотношением (2.13), является единичным:

r ² = (v - 2(v, n) n)² = v ² - 2×2(v, n)(v, n) + 4(v, n)² n ² = 1

Определение вектора преломления.

Рассмотрим случай идеального преломления.

Луч, падающий в точку P в направлении вектора v, преломляется внутрь второй среды в направлении вектора p). Преломление подчиняется закону Синелиуса, согласно которому векторы v, n и p лежат в одной плоскости и для углов справедливо соотношение.

h _v sin q _v = h_p sin q_p. (2.4)

Найдём для вектора p явное выражение. Этот вектор можно представить в следующем виде:

p = a v + b n.

Соотношение (2.13) можно переписать так:

sin q _p = h sin q _v, (2.5)

где (2.6)

Тогда

h² sin²q _v = sin²q _p

или

h²(1 - cos²q _v) = 1 - cos²q _p. (2.7)

 

Так как

cos q _v = (- v, n),

cos q _p = (- p, n),

то

a²(v, n)² + 2ab(v, n) + b² = 1 + h²((v, n)² - 1). (2.8)

Из условия нормировки вектора p имеем

|| p ||² = (p, p) = a² + 2ab(v, n) + b² = 1. (2.9)

Вычитая это соотношение из равенства (2.8), имеем:

a²((v, n)² - 1) = h²((v, n)² - 1), (2.10)

откуда a = ±h.

Из физических соображений следует, что a = h.

b² + 2bh(v, n) + h² - 1 = 0, (2.11)

Второй параметр (b) определяется из уравнения

D = 4{1 + h²((v, n)² - 1)}. (2.12)

дискриминант которого равен

Решение этого уравнения задаётся формулой

(2.13)

и, значит, вектор

(2.14)

где C = cos q _v = -(v, n). (2.15)

При этом случай, когда выражение под корнем отрицательно ({1+h²(С² - 1)} < 0) соответствует так называемому полному внутреннему отражению, когда вся световая энергия отражается от границы раздела сред и преломления фактически не происходит.