Теоретические основы работы. Аналогом второго закона Ньютона, справедливого для описания поступательного движения тела массой m (1)

 

Аналогом второго закона Ньютона, справедливого для описания поступательного движения тела массой m

(1)

во вращательном движении, является основное уравнение динамики вращательного движения

(2)

где и соответственно момент инерции и угловое ускорение твердого тела относительно неподвижной оси вращения z, – алгебраическая сумма моментов сил относительно оси z.

Сравнительный анализ уравнений (1) и (2) показывает, что роль массы в поступательном движении играет момент инерции тела во вращательном движении. А поскольку масса является мерой инертности тела в поступательном движении, то момент инерции является также мерой инертности тела во вращательном движении. В этом заключается физический смысл момента инерции.

Относительно неподвижной оси z момент инерции твердого тела определяется по формуле

(3)

где r является кратчайшим расстоянием от элемента тела массой dm до оси z.

Из формулы (3) следует, что момент инерции зависит от массы тела и от ее распределения относительно оси вращения. Чем больше масса тела и чем дальше она находится от оси вращения, тем больше момент инерции твердого тела и наоборот.

Рассмотрим маховик (рис.1), состоящий из диска, шкива и вала. Предположим, что они обладают общей массой М. Диск и шкив насажены на общий вал, закрепленный в подшипниках. Маховик может вращаться относительно оси z, совпадающей с осью вала (на рис.1 ось z перпендикулярна плоскости чертежа и направлена «от нас»).

 

Рис.1 Схема системы маховик-груз (вал на схеме не показан)

 

Вращение маховика осуществляется под действием груза массой m ₁, укрепленного на нити, намотанной на шкив, и описывается относительно неподвижной оси z уравнением

(4)

где момент инерции маховика, – его угловое ускорение, – сумма моментов сил, действующих на маховик. включает момент силы натяжения нити М (Т ₂) и момент силы трения М (F _тр) в подшипниках вала. Моменты сил N и М g относительно оси z равны нулю. Таким образом

(5)

Поступательное движение груза массой m ₁ описывается вторым законом Ньютона

(6)

где а является ускорением центра масс груза, Т ₁ – силой натяжения нити, приложенной к грузу. В проекции на ось у уравнение (6) принимает вид

(7)

Так как предполагается, что нить нерастяжима и невесома, то ускорение всех точек нити и груза одинаковы, причем в отсутствии проскальзывания нити линейное (тангенциальное) ускорение обода диска равно ускорению груза. Силы натяжения нити Т ₁ и Т ₂ равны между собой (Т ₁ = Т ₂ = Т) по третьему закону Ньютона.

Предположим, нить полностью намотана на шкив и груз находится в крайнем верхнем положении. При отпускании маховика нить под действием груза массой m₁, будет разматываться. Груз в процессе движения всей системы опустится в крайнее нижние положение, пройдя путь h ₁. Тогда с учетом, что

(8)

где t – время движения груза, а

 

(9)

 

имеем

 

(10)

Из уравнения (5) находим

 

(11)

 

Силу натяжения Т выражаем из уравнения (7), а угловое ускорение e – из (10). Затем полученные формулы для Т и e подставляем в (11). В итоге получаем

(12)

Для расчета нужно знать все величины, входящие в формулу (12). Они определяются экспериментально: – с помощью штангенциркуля, – с помощью линейки, t – с помощью секундомера. Масса груза m ₁ изначально задана. Момент силы трения определяется опытным путем. Для этого груз еще раз поднимают на первоначальную высоту (одновременно наматывая нить на шкив маховика), а затем предоставляют его самому себе. Груз сначала опускается на h ₁ до нижней точки – нулевого отсчета высоты (нить при этом сматывается со шкива), а затем (когда нить начинает наматываться на шкив) поднимается на меньшую высоту . Спуск и подъем груза происходят в течение некоторого времени t₂. Причиной подъема груза на меньшую высоту является наличие силы трения в подшипниках вала. Потеря механической энергии системы определяется работой силы трения

(13)

 

Так как начальная и конечная кинетические энергии и равны нулю, то изменение механической энергии системы равно изменению только потенциальной энергии груза

(14)

Работа силы трения выражается через момент силы трения и угловое перемещение маховика Dj:

(15)

Приравнивая правые части уравнений (14) и (15), имеем

или

(16)

Угловое перемещение маховика Dj равно отношению длины дуги, которую опишут за время поворота t₂ точки обода шкива, к его радиусу:

Dj

(17)

Подставляя Dj в уравнение (16), имеем

(18)

Полученное выражение подставляем для в уравнение (12), получаем формулу для определения экспериментального значения момента инерции маховика

(19)

Экспериментально определенное значение J_{z э} можно сравнить с теоретическим значением того же момента инерции J _{z т} для рис. 2, рассчитанного по формуле

.

Так как материал, из которого изготовлен шкив, обладает гораздо меньшей плотностью, чем плотность стальных диска и вала, то моментом инерции шкива J_{z шкива} можно пренебречь.

Поэтому

,

где

– момент инерции тонкого диска, – момент инерции кольца (здесь М ₁ и М ₂ являются соответственно массами тонкого диска и кольца, R ₁ – внешний радиус тонкого диска и одновременно внутренний радиус кольца, R ₂ – внешний радиус кольца).

Окончательно

(20)

 

Данные установки представлены в разделе 2.