ПОЯВЛЕНИЕ ПЕРВЫХ СОБСТВЕННО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Мы предполагаем, что толчок к дальнейшему развитию геометрии дало обучение. Так, в процессе обучения решениям арифметико-геометрических и геометрических задач перед учениками должны постоянно вставать две группы вопросов: 1) Как решается некоторая задача? 2) Почему она решается так, а не иначе (почему от одного вычисления можно перейти к другому, почему в процессе решения можно использовать такой-то прием)? На первую группу вопросов, как мы уже говорили, ученик мог получить ответ в сборниках решений задач В этих сборниках было собрано огромное количество типовых задач и их решений, отличавшихся друг от друга внутри типа только числовыми значениями (в некоторых сборниках содержалось 200—300 и более задач одного типа). Сопоставляя между собой и решений задач одного типа, отличающихся только числовыми значениями, учащийся должен был вычленять в этих решениях общие для всех них составляющие (геометрические и арифметические термины операций, термины различных фигур), а также последовательность, в которой эти составляющие (фигуры и операции) шли в решении. Именно эти составляющие и последовательность их сочленения в решении составляли ту форму, которая фиксировала прием (правило) решения (см. § 3, раздел II).

Можно предположить, что для получения приема решения сложной задачи ученику приходилось проделать большую

________________

¹В вавилонской и египетской математике это было, кроме того связано с другими причинами разработанные математиками способы решения задач значительно превысили практические запросы в таких способах со стороны земледелия, поэтому отпала необходимость решать новые типы задач и, следовательно, передавать способы построения решений новых типов задач

­ Конец страницы 261 ­

¯ Начало страницы 262 ¯

и утомительную работу, чтобы из сравнения и решений извлечь нужный прием решения. Он позволял учащемуся решать любую задачу данного типа (способ, каким это делалось, мы описали выше).

Однако, если перед учащимся возникла новая задача или задача, немного отличающаяся по содержанию от типовой (задача, которую надо было решать иначе — или видоизменив старое решение, или достроив новое решение), то учащийся уже не знал, как такую задачу решить. Действительно, для решения новой задачи необходимо было знать не только прием решения задач определенных типов, но также способ (прием) построения самих приемов решения задач. Только в этом случае учащийся мог решить новую задачу, построив новый прием решения или видоизменив старый прием решения. Однако, поскольку способы построения приемов решения задач терялись (см. выше § 2, раздел III), ответ на вторую группу вопросов учащиеся часто не могли получить.

Ситуация разрыва такого типа могла быть преодолена за счет построения рефлективных знаний.

Получение и употребление рефлективных знаний можно изобразить в следующей схеме (см. след, стр.): где задачи типа Б — это новые задачи, для которых нет готовых образцов решения. Левая система блоков изображает деятельность по решению задач на основе имеющихся образцов. Эта деятельность становится объектом рефлексии. В результате рефлексии получаются рефлексивные знания, которые могут быть использованы для построения решений новых типов задач. Деятельность по построению новых типов задач с помощью рефлексивных знаний изображена в правой системе блоков. Рефлексивные знания в этой схеме по функции совпадают со знаниями, выражающими методы решения задач.

Разберемся теперь более подробно, как получаются рефлексивные знания.

2. Рефлексивные знания возникают в определенной ситуации обучения, когда учителю нужно объяснить ученикам, как построены имеющиеся образцы решений задач, и уже на основе этого объяснить как строить решения задач новых типов. Учитель при этом может опираться на сохранившиеся и использующиеся в практике образцы решений задач, поскольку сами способы построения этих образцов, как мы выше предположили, терялись.

Образцы решений представляют собой арифметические

­ Конец страницы 262 ­

¯ Начало страницы 263 ¯

 

вычисления, сопровождающиеся рисунками полей и их описаниями в геометрических и арифметических терминах. Учителю нужно объяснить, как построены эти образцы, почему от одного звена в вычислении перешли к другим, почему построены те или иные звенья¹.

Выше (см. раздел III) мы показали, что сочленение звеньев в вычислении и сам вид звеньев определяются связями между известными и неизвестными элементами обобщенного объекта задачи, а само решение этой задачи сводится к решению ряда промежуточных, специально подобранных задач. Поэтому при объяснении того, почему строились те или иные звенья вычислений и почему от одного звена переходили к другим, можно использовать знания о связях между

___________

¹ Необходимость восстанавливать утерянные способы мышления возникает, в частности, при ассимиляции одной культуры другой В данном случае уже мертвые формы египетской и вавилонской математики ассимилировались и перерабатывались в греческой культуре

­ Конец страницы 263 ­

¯ Начало страницы 264 ¯

элементами обобщенного объекта задачи и между обобщенными объектами промежуточных задач

Рассмотрим на модели и на эмпирическом материале, как могли быть получены в анализируемой ситуации такие знания.

Выше мы показали, что строение обобщенного объекта * задачи можно изобразить в схемах типа (12), (13) и (14).

 

 

Внутри одного типа задач числа, фиксирующие величину полей или их элементов (на схемах они изображены знаками (О), меняются при решении каждой конкретной задачи, а рисунки полей, геометрические и арифметические термины, сопровождающие вычисления, не меняются.

Чтобы вести рассуждения в общем виде, заменим в этих схемах элементы (О₁), (О₂) и (О₃) — конкретные числа, на элементы (х₁), (х₂) (х₃) изображающие соответствующие им величины.

Для трансляции и выражения связей между элементами

­ Конец страницы 264 ­

¯ Начало страницы 265 ¯

обобщенного объекта типовой задачи необходимо построить знания, фиксирующие, во-первых, элементы М_i (х_i) и, во-вторых, связи между ними, которые складываются из двух составляющих: связей между элементами М_i (рисунками полей) и связей между элементами (x_i) (величинами, фиксирующими размер полей или их элементов). В вавилонской математике при построении решений задач эти элементы и связи задавались с помощью специально подобранной серии промежуточных задач и особых знаний (см., например, задачи 1—4 и знания A₁—А₇ в предыдущем разделе). Но к рассматриваемому периоду способы решения вавилонских задач были потеряны и, следовательно, неизвестны ни промежуточные задачи, ни соответствующие знания. Тем не менее, поскольку образец решения снимает в себе утерянный способ решения задачи, нужные учителю знания могут быть получены из анализа этого образца. Для этого в образце решения задачи сначала необходимо выделить такие составляющие, с помощью которых можно выразить элементы обобщенного объекта и связи между ними. Затем из полученных составляющих, как из средств, необходимо построить рефлективные знания.

Рассмотрим теперь непосредственно, что собой представляли указанные составляющие в вавилонской математике и как на основе них строилось рефлективное знание.

Анализ образцов решения арифметико-геометрических и геометрических задач показывает, что разные элементы и связи обобщенного объекта задачи выражались для трансляции с помощью разных знаковых средств. Так, арифметические операции с числами выражались с помощью арифметических терминов операций («сложи», «умножь», «раздели», «вычти»); отношения между элементами (О₁), (О₂), (О₃) (числами)— с помощью арифметических терминов отношений («половина», «есть», «два раза есть» и т. д); элементы (О₁) (числа)— непосредственно с помощью чисел, входящих в вычисление; элементы М_i (рисунки полей), или с помощью геометрических терминов (треугольник для косого поля, прямоугольник для прямоугольного поля, трапеция для трепециидального поля, длина, ширина, диагональ для элементов рисунков полей и т, д.). Именно с помощью этих терминов и была построена форма рефлексивных знаний.

Анализ эмпирического материала позволяет предположить, что такими знаниями явились знания типа прямоугольник есть треугольник, треугольник, умноженный на 2₄ есть

­ Конец страницы 265 ­

¯ Начало страницы 266 ¯

прямоугольник и т. д. В этих знаниях с помощью терминов «треугольник», «прямоугольник» фиксируются элементы M_i(x_i) (слово «треугольник» в данном употреблении буквально означает «рисунок треугольного поля, имеющий определенную величину а, выраженную любым числом»), а с помощью выражений «есть», «умноженное на 2 есть» — связи между элементами M_i(x_i),

Рассмотрим теперь, как мог сформироваться один из указанных здесь типов знаний.

В древней математике была распространена следующая задача: «Величина прямоугольного поля а (а — конкретное число). Поле диагонально разбили на два треугольных поля. Определить величину получившихся полей». Вот как должен выглядеть образец решения этой задачи, если а=20: «Поле

 

 

прямое 20 разбили на два косых участка. Узнай участки. Раздели 20 на 2; 10 ты видишь. Смотри (на рисунок), ты нашел верно». Мы предположили, что учитель может объяснить решение задачи с помощью знаний о свойствах обобщенного объекта задачи. Обобщенные объекты рассматриваемых нами задач представлены в рисунках, на которых проставлены как числа, данные в условии задачи, так и числа, полученные в результате решения. Сопоставляя эти числа, а также сами рисунки, к которым отнесены числа, можно получить следующие знания: 1) треугольник, образованный диагональю прямоугольника, есть половина прямоугольника; 2) треугольник, умноженный на 2, дает (есть) прямоугольник. Эти знания действительно фиксируют то основание, в связи с которым строится решение данной задачи. Кроме того, они могут использоваться для построения решения других задач. Так, первое из приведенных знаний объясняет, почему для определения величин треугольного поля нужно величину прямоугольного поля разделить пополам. Второе знание может быть также использовано для построения решения

­ Конец страницы 266 ­

¯ Начало страницы 267 ¯

сходных по типу задач, например, такой: «Треугольное поле 10. Определить величину прямоугольного поля, образованного при достройке данного треугольного поля еще одним треугольным полем».

 

 

3. В этом пункте мы переходим к следующему этапу в формировании предмета геометрии. На этом этапе впервые появляются собственно геометрические знания и геометрическая онтология. Как мы покажем дальше, они могут появиться только одновременно.

На предыдущем этапе формирования предмета геометрии в результате анализа образцов решения задач были получены знания, предназначенные для решения новых типов задач. Они выражали числовые отношения между величинами и относились к рисункам полей с числами.

Однако в новом употреблении при использовании полученных знаний в качестве средств построения решения новых типов задач их начинают относить к рисункам полей, на которых числа не проставлены, поскольку они неизвестны. При этом знания о числовых отношениях величин приписываются самим рисункам полей. В этой ситуации знания о числовых отношениях величин превращаются в геометрические знания, а рисунки полей, к которым эти знания относятся, начинают выражать, репрезентировать геометрические объекты или геометрическую онтологию.

3.1. Рассмотрим сначала в общем виде возникновение онтологии некоторого знания и ее характеристики. Любое знание А можно рассмотреть как структуру и изобразить на схеме:

 

­ Конец страницы 267 ­

¯ Начало страницы 268 ¯

Схема читается так: объективное содержание любого знания Хд образуется при сопоставлении объекта X с общественно-фиксированными эталонами и выражается в определенной знаковой форме (А), которая затем относится непосредственно к объекту. При этом одно из необходимых условий, позволяющих относить знаковую форму (А) и целиком все знание А к объекту X, заключается в следующей особенности знаковой формы: знаковая форма свертывает, снимает в своем употреблении и строении объективное содержание ХΔ¹ Поэтому отнесение знания к объекту предполагает возможность получения его из этого объекта.

Но при использовании полученного знания для решения самых разных задач нередко возникает ситуация, когда знание относят к таким объектам Z, из которых это знание не может быть получено. В таких случаях обычно строят специальную онтологию, в которой можно представить эти объекты и относительно которой можно реально или в мысленном плане получать необходимые знания. При этом онтология конструируется в знаковой плоскости как такой объект-посредник Y, который по одним параметрам тождествен с объектом X, а по другим параметрам — с объектом Z. Одновременно с объектом Y конструируется особое действие сопоставления Δо, которое может быть выражено в знаковой форме (А₁). В результате формируется новое знание, строение Которого можно изобразить так:

 

 

где объект Y, представленный на схеме (20), таков, что У=Х по одним параметрам (α, β, γ…) и Y=X по другим параметрам (q, p, r,...); (А\)— знаковая форма нового знания; мы ее обозначаем символом (А\), а не (А), поскольку знаковая форма (А) приобрела новое содержание Уд₀ и, следовательно, превратилась в новую знаковую форму (А₁)

_________

¹ Этот факт подробно разобран в работах Г П Щедровицкого «О различии исходных понятий формальной и содержательной логики» (в сб «Проблемы методологии и логики наук», Томск, 1962), «Языковое мышление» и методы его исследования» (автореферат канд дисс, М„ 1964).

­ Конец страницы 268 ­

¯ Начало страницы 269 ¯

Именно это новое знание используется теперь при решении задач нового типа. Его использование осуществляется в три этапа. На первом этапе с помощью условия задачи выделяют объект Z и на его основе строят объект-посредник Y, который моделирует объект Z по параметрам (α, β, γ…)..., a объект X — по параметрам q, p, r,.... На втором этапе с помощью действия сопоставления Л о об объекте Y получают знания, сходные со знанием, изображенным на схеме (20). На третьем этапе полученные таким образом знания относятся" непосредственно к объекту Z¹.

3.2. Теперь рассмотрим, как конкретно должно было происходить построение геометрической онтологии и геометрических знаний.

При анализе решений вавилонских задач были получены следующие знания, которые мы условно назовем знаниями a₁ и А₂: знание А_І—«треугольник, образованный в прямоугольнике диагональю, есть половина этого прямоугольника», знание А₂—«треугольник, умноженный на 2, есть прямоугольник». Строение этих знаний можно изобразить в схемах типа

 

 

где X — рисунки полей, входящие вместе с числами в образцы решения вавилонских задач; Δ— сопоставление этих образцов решения для выделения связи между рисунками полей и числами; (А) — выражения «треугольник, образованный в прямоугольнике диагональю, есть половина этого прямоугольника», «треугольник, умноженный на 2, есть прямоугольник». Отнесение знаковой формы (А) к объекту X можно изобразить более детально, если рассмотреть строение знаковой формы. Знаковая форма (А) состоит из составляющих двух типов: 1) терминов фигур — «треугольник», «прямоугольник»; на схеме (22) они представлены значком (μ), 2) терминов числовых отношений — «есть», «есть полови-

_____________

¹По отношению к объемам Z и X объект Y на первом этапе выступает как средство моделирования, на втором — как модель этих объектов, на третьем — как их изображение

­ Конец страницы 269 ­

¯ Начало страницы 270 ¯

на», «умноженная на 2, есть»; на схеме они представлены значком (р). Если факт связи этих составляющих в знаковой форме (A) обозначить общей скобкой, то отнесение знаковой формы (А) к объектам X можно изобразить

 

 

Следовательно, действие сопоставления должно вычленять в рисунках полей содержание, соответствующее составляющим (μ) и (р) и связям между ними. Вычленению таких содержаний в предметном плане соответствует выделение в рисунках полей различных фигур и числовых отношений между их величинами.

Первоначально, как мы отмечали, знания А₁ и А₂ использовались для объяснения решений вавилонских задач. Их, следовательно, относили к рисункам полей с числами, входящими в образцы решений вавилонских задач. Соответственно, такое отнесение обеспечивало и указанное выше строение содержания знаний А₁ и А₂, а именно наличие в содержании составляющих, которые в знаковой форме (А₁) и (А₂) дают элементы (μ) и (р). Но затем знания А₁ и А₂ стали использовать для построения новых типов задач. В результате их стали относить уже не к объектам X, а к объектам Z, имеющим другое строение, а именно к рисункам полей, не входящим в образцы решения задач, В этих объектах уже нельзя выделить вторую составляющую — (р), выражающую отношения между числами, так как арифметические операции с числами еще только нужно построить в ходе решения задачи. Тем не менее знания А_І и А₂ использовались для построения новых решений задач и относились к объекту Z, и это создает необходимость выделять в объекте Z не только первую составляющую —(μ) но также и вторую —(р).

4. В плане объектного видения предметника, в данном случае в плане объектных представлений математика, решающего задачи, возникшую ситуацию можно представить следующим образом.

На первом этапе, когда знания А₁ и А₂ использовались для объяснения решения задач, их смысл соответствовал. Строению того объекта, к которому знания А₁ и А₂ относи-

­ Конец страницы 270 ­

¯ Начало страницы 271 ¯

лись, т. е. строению рисунка с поставленными на нем числами. Выше мы показали (см. текст выше), что рисунки полей, входившие в образцы решения задач, для древних математиков должны обладать свойствами величины и проницаемости. Числа, поставленные на рисунках, обладают дополнительным рядом свойств: между ними можно установить отношения, их можно умножать и делить. Все указанные здесь свойства и характеристики рисунков полей с числами соответствовали тем, которые задавались смыслом знаний А_І и А₂. В этих знаниях фиксируются: 1) форма рисунка («треугольник», «прямоугольник»), 2) величина, 3) числовые отношения, приписанные рисункам полей («есть», «умноженное на 2, есть»).

На втором этапе, когда знания А_І и А₂ стали использоваться для построения решений новых задач, строение объекта уже не соответствовало их смыслу. Знания А_І и А₂ стали относиться к рисункам полей, не включенным в образцы решения задач. В этом случае форму, величину и числовые отношения необходимо было получить как свойства и характеристики самих рисунков полей. Но рисунки полей как объекты оперирования в представлении древнего математика, не обладают числовыми отношениями: рисунки полей нельзя делить, нельзя умножать друг на друга. Поэтому при отнесении знаний к рисунку без чисел становится непонятным их смысл. Что, например, в этом случае могут означать выражения: «рисунок треугольного поля, умноженный на 2, есть рисунок прямоугольного поля».

5. Ряд эмпирических и теоретических соображений позволяет выдвинуть гипотезу, по которой возникшая ситуация разрыва была преодолена за счет построения новых знаний типа «треугольник, образованный в прямоугольнике диагональю, равен половине этого прямоугольника» и «прямоугольник в два раза больше треугольника, образованного в прямоугольнике диагональю». Кроме того, были построены новые объекты — фигуры-чертежи, к которым могли относиться эти знания. Помимо этого, чтобы обеспечить отнесение геометрических знаний к фигурам-чертежам, была сформирована особая деятельность,- она осознавалась как мысленное наложение фигур-чертежей друг на друга.

Все вместе указанные здесь новообразования хорошо удовлетворяют признакам онтологии, которые мы выделили выше. Так, фигуры-чертежи (объекты Y) по одним параметрам тождественны объектам Z — рисункам полей, не входя-

­ Конец страницы 271 ­

¯ Начало страницы 272 ¯

щим в образцы решения вавилонских задач, поскольку и те и другие объекты имеют форму, величину и проницаемость. По другим параметрам фигуры-чертежи тождественны объектам X — рисункам полей, входящим в образцы решения вавилонских задач, поскольку отношения равенства и неравенства для фигур-чертежей замещают числовые отношения, приписанные рисункам полей. Процедура мысленного наложения, применимая к объектам Y, позволяет относить к ним геометрические знания.

Дальше мы рассмотрим, как сформировалась геометрическая онтология в виде этих трех составляющих. Сопоставление различных хронологических срезов вавилонской и греческой математики, а также рассмотрение других примеров формирования онтологии позволяют предположить, что геометрическая онтология формировалась в течение длительного периода и прошла при этом несколько этапов. К сожалению, следы этого процесса формирования полностью затерялись. Поэтому мы рассмотрим здесь лишь логически необходимую линию формирования геометрической онтологии.

6. По-видимому, затруднения, возникшие при отнесении знаний о числовых отношениях к рисункам полей, были преодолены, когда случайно или в результате решения каких-то побочных задач рисунки полей были рассмотрены как изображения предметов треугольной и прямоугольной формы, наложенных друг на друга. Например, рисунок прямоугольного поля с диагональю может быть рассмотрен как изображение двух предметов треугольной формы а и о, наложенных на предмет прямоугольной формы с.

В моделях описанный здесь процесс можно изобразить так. Два предмета а и с треугольной и прямоугольной формы

 

 

можно сравнить по величине, накладывая их друг на друга и фиксируя совпадение соответствующих элементов. Наложение предметов можно «зобразить в схеме:

 

­ Конец страницы 272 ­

¯ Начало страницы 273 ¯

где x₁— предмет а; х₂— предмет с_; Δ_н— операция наложения, _{Х1 2}— предметы а и с, наложенные друг на друга. Эти предметы выступают в функции объекта, когда они включаются в деятельность.

К объекту Х_{І 2} уже можна применить действие сопоставления Δ и вычленить содержание, выражаемое в терминах «равно», «больше», «меньше».

На схеме (24) такие термины обозначены знаковой формой (В), Отнесенной К Объекту Х_{І 2}

Если края предметов а и с совпадают, то это фиксируется в знании «равно» (точнее, «предмет а равен предмету с»); если края предмета с выступают над предметом а, то получают знание «больше» («предмет с больше предмета а») или знание «меньше» («предмет а меньше предмета с») Таким

 

 

образом, действие сопоставления Д предполагает выделение в наложенных друг на друга предметах а и с определенных элементов: совпадающих и несовпадающих краев.

Рисунок, изображающий два наложенных друг недруга предмета а и с, является по отношению к ним знакам-моделью.

 

 

где (М) — рисунок предметов а и с, наложенных друг на друга; Δ — соответствующее действие сопоставление.

Поэтому знание В о сравнительной величине наложенных Друг на друга предметов а и с можно перенести на рисунок этих предметов. Перенос знания мы изобразим в схем«. Рису-

­ Конец страницы 273 ­

¯ Начало страницы 274 ¯

нок с отнесенным к нему знанием о равенстве или неравенстве превращается в чертеж одной фигуры, наложенной на другую, а знание В о равенстве или неравенстве предметов — в знание В' о равенстве или неравенстве фигур чертежа.

 

 

Строение полученного знания В' можно изобразить так:

 

 

где (В') — знаковая форма знания В' (выражения типа «треугольник равен прямоугольнику», «треугольник больше треугольника», «треугольник меньше прямоугольника»); М — чертеж; (омега) — мнимое действие сопоставления (мнимое, поскольку знание В⁷ приписано чертежу, а не получено из него с помощью действия сопоставления). Более точно строение знания В' можно изобразить, если учесть строение процесса отнесения знания В' к рисунку — объекту (М). Дело в том, что на рисунок предметов обоснованно можно было перенести только одну составляющую знаковой формы знания В, а именно составляющую (μ) (термины фигур «треугольник», «прямоугольник»), поскольку рисунок является знаком-моделью предметов а и с, наложенных друг на друга только с точки зрения формы. Другая же составляющая —(р), выражающая отношения равенства и неравенства, как мы показали, просто приписывается чертежам. Действительно, чертежи на бумаге нельзя реально накладывать друг на друга. Однако если отношения равенства или неравенства нельзя получить из реального оперирования с чертежом, то их можно ему приписать.

­ Конец страницы 274 ­

¯ Начало страницы 275 ¯

Таким образом, строение знания В' можно еще изобразить в следующих схемах:

 

 

Следовательно, мнимое действие сопоставления включает в себя два элемента: 1) действие сопоставления и отношение замещения — Δ| (реальные действия) и 2) переход от составляющих (μ, (р') и отнесение составляющей (р') к объекту М (мнимые действия, включающие в себя такие элементы, как операцию наложения и действие сопоставления Δ_н, осуществляемые в плане объектных представлений предметника).

Замечания. 1. Мы показали, что условием формирования знаний В' о равенстве фигур является использование предметов и действий наложения и сопоставления с ними. Естественно, что вначале регулярное получение знаний о равенстве фигур из рисунков полей также возможно только благодаря использованию этих предметов и действий.

Для обучения деятельность по получению знаний о равенстве фигур фиксируется в специальных описаниях. При этом процедура отнесения знания В⁷ к рисункам полей предстает в этих описаниях в виде отношений между знанием В⁷ о равенстве фигур и тем рисунком поля, к которому данное знание относится.

В дальнейшем эти знания о равенстве фигур относятся уже непосредственно к рисункам полей, минуя использование предметов. Это стало возможным потому, что отношения, связывающие рисунки полей, знаний, полученные на основе действий с предметами а и с, и процедуры отнесения были зафиксированы в особых выражениях L, например: в выражении «совпадающие рисунки полей (треугольники, прямоугольники, трапеции) равны» или «рисунки полей, совпадающие частично, не равны: больше тот рисунок, который включает в себя другие». Сравнивая эти выражения с упот-

­ Конец страницы 275 ­

¯ Начало страницы 276 ¯

реблявшимися на первом этапе описаниями деятельности по получению знаний типа В', можно заметить, что выражения типа L получены на основе сопоставлений указанных описаний. На это указывают, в частности, перенесенные с предметной плоскости на рисунки полей выражения «наложенные», «равны», «включает».

2. В плане объектных представлений математика знания типа В' не приписываются, а получаются из чертежей например- знание «прямоугольник больше треугольника» получается из чертежа прямоугольника с диагональю Это связано с тем, что математик движется в плане смысла знаний, в котором все действия уже сняты отношением между знаковой формой и объектом:

 

 

И поскольку математик отождествляет данный ему рисунок с чертежом, а реально движется от рисунка и знания типа В' к чертежу и знанию типа В', он считает, что знание В' получено из чертежа.

3. Чертеж на этом этапе — объект оперативной системы особого рода, который характеризуется следующими двумя свойствами: 1) его строение задается знанием, которое к нему относится; 2) это знание получается в результате включения данного объекта в мнимое действие сопоставления — см. схемы (27) и (28).