ПЕРВАЯ ЛИНИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗНАНИЙЗнания о равенстве или неравенстве фигур стали затем использоваться для построения решений новых типов задач. При этом средством решения выступали не сами знания, а чертежи с отнесенными к ним знаниями. Применение этого средства осуществляется, как мы писали выше, в три этапа. На первом этапе объект задачи должен быть отождествлен с чертежом, после этого к рисункам полей могут быть отнесены знания о равенстве или неравенстве. Однако в ряде Конец страницы 276 ¯ Начало страницы 277 ¯ случаев такое отождествление может приводить к ситуации разрыва. Например, если рисунок четырехугольного поля с диагональю отождествить с чертежом прямоугольника с диагональю, то к четырехугольнику будет отнесено знание «четырехугольник в два раза больше треугольника». Применяя это знание к рисункам, изображающим следующие виды полей:
математики, соотнося результаты вычислений с практическими результатами подсчета величины полей, должны были обнаружить, что площадь четырехугольных полей не состоит из двух одинаковых по величине треугольных полей. В такой ситуации необходимо уточнить объектную область, к которой можно относить то или иное знание о равенстве. Для этого с помощью специальных знаний нужно зафиксировать отличительные свойства чертежей, к которым можно отнести определенное знание. Следовательно, к одному чертежу теперь нужно относить знания двух типов: 1) знание типа В', фиксирующее отношения равенства и неравенства; 2) знание типа К, фиксирующее отличительные свойства чертежа, к которому можно отнести знание типа В'. Факты эмпирического материала подтверждают сделанное здесь предположение: на первых этапах развития греческой математики мы находим сложные геометрические знания, состоящие из знаний типа В' и К, например такие: «прямой четырехугольник в два раза больше треугольника», «косой четырехугольник в два раза больше треугольника»1. Строение этих знаний можно изобразить так:
________________ 1Д Мордухай-Болтовский Комментарии к «Началам» Евклида: В хн «Начала» Евклида, т I—IV Конец страницы 277 ¯ Начало страницы 278 ¯ где М — чертеж прямого четырехугольника (прямоугольника) или косого четырехугольника (параллелограмма); (К) — знаковая форма знаний типа К («прямой четырехугольник», «косой четырехугольник»); (В') — знаковая форма знаний типа В' («четырехугольник в два раза больше треугольника»); квадратными скобками обозначены связи в языке между знаниями типа В' и К. Эти знания (обозначим их буквой С) могли быть получены древними математиками, с одной стороны, из рассмотрения образцов решения вавилонских и египетских задач, а с другой стороны, из рассмотрения чертежей и зрительного сопоставления их величины (иногда сопоставление величин чертежей могло осуществляться на вещественных моделях). Например, анализируя образцы решения вавилонских и египетских задач, греческие математики могли установить соответствие между типом рисунка поля и числовыми отношениями, сопровождающими этот рисунок. Переведя числовые отношения в отношения равенства или неравенства — см. схемы (23)—(29) — и присоединив к ним знания о типе рисунка поля, греческие математики могли получить знания типа С*. Использование знаний типа С должно привести к очередному уточнению объектной области, к которой эти знания или их составляющие могут быть отнесены. В результате получаются новые знания типа С' и т. д. Этот процесс осуществляется несколько раз. В результате должна сложиться серия геометрических знаний типа С', связанных между собой. Это предположение хорошо согласуется с эмпирическим материалом. Мы действительно можем выделить в греческой математике такие серии знаний. Вот, например, одна из них: «четырехугольник в два раза больше треугольника», «прямой (косой) четырехугольник в два раза больше треугольника», «у прямого (косого) четырехугольника противоположные стороны не сближаются и не отдаляются» (потом стали говорить «параллельны»), «у прямого четырехугольника две любые прилежащие стороны наклонены друг к другу под прямым углом», «противоположные стороны, которые не сближаются и не удаляются, одинаково наклонены к линии, пересекающей одну из этих сторон под прямым углом». ___________ * Процесс получения знания С из чертежей происходит аналогично процессу получения знаний В' о чертежах который мы разобрали выше Конец страницы 278 ¯ Начало страницы 279 ¯ Из таких серий связанных между собой знаний в дальнейшем формируется система геометрических знаний «Начал» Евклида. При организации систем знаний используются, в частности, и связи между приведенными нами знаниями. Дальше мы более подробно рассмотрим строение этих знаний и связи между ними. Изобразим в моделях связи между двумя знаниями, входящими в такую серию (например, связь между вторым и третьим знанием из указанной здесь серии). Строение знаний «прямой четырехугольник в два раза больше треугольника» мы выше изобразили в схеме (30), где (В`) - выражение «четырехугольник в два раза больше треугольника», а (К) — выражение «прямой четырехугольник». В объекте М, к которому относится это сложное знание, можно выделить два более простых: прямой четырехугольник и треугольник. Получение знаний о форме этих чертежей можно изобразить так:
где (К) - знаковая форма выражения «прямой четырехугольник»; (К1) — знаковая форма выражения «треугольник»; М1— чертеж прямого четырехугольника; М2 — чертеж треугольника. Тогда строение следующего в серии знания «у прямого четырехугольника противоположные стороны не сближаются и не отдаляются» можно изобразить так:
где (К) — знаковая форма выражения «прямой четырехугольник»; (ВІ') — выражения «противоположные стороны не сближаются и не отдаляются», знак (омега) — мнимое действие сопоставления. Таким образом, второе и третье знания в указанной серии Конец страницы 279 ¯ Начало страницы 280 ¯ связаны через общие элементы (объект МІ и знание К)1. В плане объектных представлений математика связь между вторым и третьим знанием осуществляется за счет выделения в объекте М его элемента МІ; это можно изобразить так:
[М]→МІ
С помощью аналогичного рассуждения можно показать, что и другие знания в указанной выше серии должны быть связаны через общие элементы — объекты (чертежи) и геометрические знания типа К. Для этого каждый раз необходимо рассматривать преобразования чертежей и их элементов, а также знания, которые используются при осуществлении таких преобразований. Покажем теперь, что каждое знание, входящее в подобную серию, должно состоять из двух составляющих: 1) знания типа К, полученного из чертежа, и 2) знания типа В', приписанного этому чертежу. Действительно, каждое следующее знание в этой серии знаний связано с предыдущим и в одних случаях отличается от него тем, что относится к более узкой объектной области — ср. схемы (27) и (32), а в других случаях является знанием о тех объектах, к которым предыдущие знания относятся — ср. схемы (31), (32). Например, первое знание из приведенной выше серии относится к любым четырехугольникам, а второе — только к прямым или к косым четырехугольникам; в остальных отношениях эти знания не отличаются друг от друга. Третье же знание является знанием об объекте, к которому относится второе знание. В первом случае каждое последующее знание содержит вторую составляющую, приписываемую чертежу, потому, что эту составляющую содержит предыдущее знание — см. схемы (27) и (30);
_______________ 1 В данном случае мнимое действие сопоставления омега тоже предполагает особое оперирование с чертежом. Так, если мнимое действие сопоставления Конец страницы 280 ¯ Начало страницы 281 ¯ во втором — потому, что каждое последующее знание В1` — это знание о таком объекте М, строение которого задается отнесением предыдущего знания В'. Следовательно, последующее знание В'1 должно быть лишь видоизмененным (по отношению к объекту) предыдущим знанием В'. Другими словами, во втором случае последующее знание отличается от предыдущего тем, что оно иначе схватывает, фиксирует строение объекта, заданное предыдущим знанием. Например, если второе знание из приведенной выше серии фиксирует отношение между такими элементами прямого четырехугольника, как треугольники, образованные диагональю, то третье знание это же отношение выражает в виде отношения противоположных сторон четырехугольника (как нельзя убедиться, что прямой четырехугольник ровно в два раза больше треугольника, точно так же нельзя убедиться, что противоположные стороны любого прямого четырехугольника не сближаются и не отдаляются). Однако еще более четко указанное здесь отношение между предыдущим и последующим знанием проявляется в других сериях связанных между собой геометрических знаний, где вторая составляющая последующего знания (знание, фиксирующее отличительные свойства чертежа) имеет то же строение, что и предыдущие знания типа В'. Вот пример одной из таких серий: «четырехугольник в два раза больше треугольника»; «четырехугольник, который в два раза больше треугольника, состоит из двух равных треугольников»; «у равных треугольников соответственные стороны равны»; «два треугольника равны, если у них равны по две стороны и углу между этими сторонами» (математики сначала говорили: «равные стороны в обоих треугольниках одинаково наклонены друг относительно друга»); «два треугольника равны, если у этих треугольников равны по одной стороне и по два угла»1. _____________ 1 Обычно уточнение объектной области заканчивается, когда доходят до элементов чертежей- сторон и углов. Действительно, в каком случае стороны равны? Ответ на этот вопрос может быть один: в том случае, если они равны. Если же каким-то образом знаем, что три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, дальше мы уверены во всей полученной цепи: тогда эти треугольники равны, тогда четырехугольник, составленный из этих треугольников, в два раза больше этих треугольников и одновременно прямой Конец страницы 281 ¯ Начало страницы 282 ¯ Строение предыдущих и последующих знаний в такой серии можно изобразить так:
где объект МІ — элемент объекта М, полученный при разложении объекта МІ см. схемы (31), (32), (33). В знаковой форме последующих знаний имеются две составляющие. Одна составляющая входит в предыдущее знание и относится к чертежу, во втором знании эта составляющая обозначена как В', а в третьем — как ВІ'. Вторая составляющая фиксирует отличительные свойства чертежа, к которому можно относить предыдущее выражение. Таким образом, в результате описанных процедур были получены серии геометрических знаний, связанных друг с другом и отнесенных к определенным чертежам и их элементам. Именно здесь впервые формируются такие представления, как «параллельные» (линии, не приближающиеся и не удаляющиеся друг от друга), и такие, как «угол» (линии, по-разному наклоненные друг к другу).
|
включает в себя операцию-наложения Δн то 
