ВТОРАЯ ЛИНИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ

Наряду с процессом получения знаний, связанных между собой указанным выше образом, можно проследить и другую линию развития геометрии, опирающуюся на первую, в которой формируется процедура доказательства.

При сопоставлении образцов решения вавилонских задач было получено знание А, которое в отнесении к чертежу читается так: «Треугольник, имеющий с прямоугольником одинаковую высоту и в два раза большее основание, равен данному прямоугольнику» (о том, как получались такие знания, см. выше, гл. III § 1 и 2). Чертеж, к которому относилось знание А, мог выглядеть так (буквами ), мы показали отношение оснований прямоугольника и треугольника):

­ Конец страницы 282 ­

¯ Начало страницы 283 ¯

В данном чертеже (объекте М) можно выделить треугольник и прямоугольник, а также их основание и высоту. Это можно изобразить в следующей схеме:

 

 

где (В), (С), (Е), (Е'), (F), (F') — знаковые формы соответствующих знаний В, С, Е, Е', F, F'.

Читается схема (35) так. Относительно объекта М можно получить знания В и С («треугольник», «прямоугольник»), с помощью которых выделяются объекты М_І и М₂ — чертежи треугольника и прямоугольника. Из них можно получить группу знаний Е, Е', F, F', с помощью которых выделяются объекты М_І', М₂', М₁", М₂" — чертежи высоты треугольника, высоты прямоугольника, основания треугольника и основания прямоугольника. Кроме того, о чертеже можно получить еще одно знание — «высота треугольника равна высоте прямоугольника» (знание G):

­ Конец страницы 283 ­

¯ Начало страницы 284 ¯

Этот шаг возможен, поскольку при мысленном наложении эти высоты полностью совместятся. К тому же чертежу можно отнести знание, «основание треугольника в два раза больше основания прямоугольника» (знание Н)¹

 

ч

 

1. Знания G и Н наряду со знаниями В и С образуют первую составляющую знания А, т. е. составляющую, фиксирующую отличительные свойства объекта, к которому знание А должно быть отнесено, поэтому объект М выступает как объект, к которому можно отнести знание А. Для этого к нему необходимо отнести вторую составляющую знания А — «прямоугольник равен треугольнику» (обозначим это знание буквой J)² Тогда структуру знания А можно изобразить в схеме³

 

_____________________

¹ Если отнесение к чертежу знания Q оправдывается строением мнимого действия сопоставления () то отнесение знания Н осуществляется исключительно в плане полагания такого действия

² С точки зрения современного доказательства этот переход можно проинтерпретировать так исходная задача на доказательство «доказать что треугольник, имеющий с прямоугольником одинаковую высоту и в два раза большее основание, равен данному прямоугольнику» сводится к другой «доказать, что треугольник ABE равен прямоугольнику АВСК»

 

 

³ В условии современных геометрических задач на доказательство знания, выделенные круглой скобкой, образуют данные задачи (то что в задаче известно), а знание типа J — требование (то, что необходимо доказать) Нужно заметить, что это различие впервые было задано еще Аристотелем ((см Аристотель Вторая аналитика М, ГосПолитиздат, 1952)

­ Конец страницы 284 ­

¯ Начало страницы 285 ¯

где круглыми скобками выделена первая составляющая знания А, а квадратными — само знание А.

2 Отнесение знания J к объекту М можно изобразить в схеме (при этом нами используются характеристики геометрических знаний, полученные в § 1)

 

 

где М_І и М₂— чертежи прямоугольника и треугольника (см схемы выше), — мнимое действие сопоставления, включающее в себя операцию наложения Δ_н

Осуществление операции наложения должно привести к тому, что объекты МІ и АІ2 разобьются на две части (объекты М₁¹ М,² и М₂', М₂²)

 

 

где (S) и (К) — знаковые формы выражений «левая (заштрихованная) часть треугольника», «правая часть треугольника»; (L) и (М) — выражений «нижняя (заштрихованная) часть прямоугольника», «верхняя часть прямоугольника». Два из этих объектов (объекты М_І¹, М₂¹ — заштрихованные части треугольника и прямоугольника) могут быть полностью совмещены друг с другом, а два других нет. Следовательно,

­ Конец страницы 285 ­

¯ Начало страницы 286 ¯

осуществляя с объектами М₁ и М₂ мнимое действие сопоставления, можно получить не знание J, а знание N, т. е. утверждать, что равны не треугольник и прямоугольник, а только те их части, которые совмещаются при наложении. Это знание можно изобразить в следующей схеме:

 

 

где N — знание «левая часть треугольника равна нижней части прямоугольника». Действие сопоставления , осуществленное с объектами М_І и М₂ и детерминированное требованием построить знание J, создает новую объектную и предметную ситуацию¹. Эта ситуация может быть охарактеризована в следующих пунктах: 1) к объектам М_І, М₂ необходимо отнести знание J; 2) включение этих объектов в операцию наложения не обеспечивает такого отнесения; 3) к элементам этих объектов (объектам М₁¹ М₂¹) отнесено знание N.

Дальнейшую деятельность по отнесению знания J к объекту нужно строить исходя из указанной ситуации. Ниже мы описываем один из механизмов, обеспечивающих построений такой деятельности.

Знание J может быть отнесено к объектам М_І, М₂ в случае реализации следующего сложного знания:

 

 

где знаком суммы обозначены знания, фиксирующие отличительные свойства объектов М_І, М₂, к которым можно отнести знание J.

Анализ эмпирического материала и сложившейся объектной и предметной ситуации позволяет предположить, что в число знаний, обозначенных знаком суммы, наряду со знаниями В и С («треугольник», «прямоугольник») должны войти: 1) знание N («части треугольника и прямоугольника, совмещающиеся при наложении, равны»); 2) знание О («части прямоугольника и треугольника, не совмещающиеся при

_____________

¹ О различении объекта и предмета см. Г П Щедровицкиц) Проблемы методологии системного исследования. М., «Знание», 1964.

­ Конец страницы 286 ­

¯ Начало страницы 287 ¯

наложении (незаштрихованные), равны»). В этом случае знание Е должно читаться примерно так: «Треугольник и прямоугольник, составленные из равных частей, равны между собой».

 

Замечания. 1. Знания типа Е могли быть получены в первой линии развития геометрических знаний.

Действительно, для их получения, во-первых, необходимо сопоставить между собой образцы решения задач следующих типов: «Прямое поле величиной а сложили с треугольным полем величиной b. Определить величину получившегося в результате поля (решение: а+b=с)» и «трапециидальное поле величиной а сложили с прямым полей величиной b. Определить величину получившегося поля (решение: а+b=с)». Во-вторых, результат сопоставления нужно представить в форме равенства частей определенных (равных) фигур и их элементов.

2. Позднее анализ знаний типа £ приводит к получению более общего знания: «составленные из равных равны».

Таким образом, если предположить, что в первой линии развития геометрических знаний было получено знание типа E и что к объектам М_І, М₂ можно отнести знание О, то к объектам М_І, М₂ можно будет отнести знание J. Процесс отнесения в этом случае можно изобразить так:

 

 

где направление обоих стрелок показывает, что реализация знания Е осуществляется в два этапа: на первом этапе от знаний В, С, N и О, отнесенных к объектам М_І, М₂, переходят к знанию E, а на втором — от знания E переходят к знанию J (т. е. знание J с помощью знания E относят к объектам М_І, М₂)*.

_________________

* Здесь мы имеем дело с очень интересным моментом Анализ указанной Выше объектной и предметной ситуации и использование ранее полученных знаний позволяют фактически сформулировать промежуточную задачу, необходимую для решения основной задачи. В логическом языке она формулируется так: «отнести к объектам М_І, М₂ знание О», в предметной форме «доказать, что ΔВСЬ равен ΔКЬЕ»

­ Конец страницы 287 ­

¯ Начало страницы 288 ¯

3 Чтобы к объектам М_І, М₂ отнести знание О, можно еще раз воспользоваться описанным выше механизмом. Знание О может быть отнесено к объектам М_І, М₂ если оно входит в знание Я, имеющее следующую структуру:

 

 

где знаком суммы обозначены знания, фиксирующие отличительные свойства М_І, М₂, к которым можно отнести знание О.

Анализ эмпирического материала позволяет предположить, что в качестве знания Я может выступать, например, такое полученное в первой линии развития геометрическое знание: «треугольники равны, если у них равны по одной соответственной стороне и два соответственных угла» В этом случае строение знания Я можно изобразить так

 

 

где Р и R — знания «соответственные стороны равны» и «два соответственных угла равны». Следовательно, чтобы к объектам М_І, М₂ отнести знание О, к ним необходимо прежде всего отнести знания R и Р¹. Сопоставление знания Р со знанием Н («основание треугольника в два раза больше основания прямоугольника» или, что то же самое, «половина основания треугольника равна основанию прямоугольника») показывает, что эти знания тождественны² Поскольку знание Н было при построении объекта М отнесено к объектам М_І, М₂ — см схему (37),— знание Р также могло быть отнесено к этим объектам:

_________________

¹Здесь мы опять получаем новую предметную и объективную ситуацию, анализ которой позволяет сформулировать указанную промежуточную задачу (в современной форме она звучит так «Доказать, что сторона и два угла ΔВСЬ равны соответственной стороне и двум соответственным углам ΔКЬЕ»)

² Тождество этих знаний должно было обеспечиваться реализацией следующего, сложившегося в первой линии знания типа Е — см схему (44) «когда одна сторона равна другой, а другая — третьей, то первая сторона равна третьей» Именно на основе анализа таких знаний должно было позднее сложиться знание «равные одному и тому же, равны между собой»

­ Конец страницы 288 ­

¯ Начало страницы 289 ¯

Однако утверждать то же самое о знании R («два соответстаениых угла равны») нет оснований: эхо знание не получено в первой линии и не совпадает со знаниями, приписанными объекту при его построении.

Анализ эмпирического материала позволяет предположить, что, хотя оснований для отнесения знания R к объектам М_І, М₂ не было, такое отнесение для решения задачи было осуществлено.

 

 

Для отнесения знания R к объектам М_І, М₂ необходимо было сформулировать, например, следующие два знания «прямые углы равны» (знание R') и «углы, образованные двумя перекрещивающимися прямыми (вертикальные углы), равны» (знание R").

 

 

Способ построения знаний такого типа мы рассмотрели выше при анализе знаний первой линии.

Анализ истории математики показывает, что знания о равенстве прямых и вертикальных углов действительно появляются на самых первых этапах развития греческой геометрии, именно как знания не доказанные, а принятые на веру¹.

4. Как только знание R было отнесено к объектам М_І, М₂, к этим объектам могло быть отнесено знание О, а затем знание J— см. схему (44) — «следовательно, знание А².

_____________

¹ БЛ Ван-дер-Варден Пробуждающаяся наука, стр 121 —123

² Всe указанные ниже в п 5 характеристики нужно рассматривать как общие, применимые к любому подобному случаю Для этого их необходим» интерпретировать на схемах и затем такие интерпретированные схемы и относящиеся к ним понятия соотнести с новым эмпирическим материалам

­ Конец страницы 289 ­

¯ Начало страницы 290 ¯

 

Предложенный здесь способ отнесения геометрических знаний к объектам (чертежам) достаточно правдоподобен. Действительно, во-первых, он, опирается на процедуры и знания, сформированные в предшествующем развитии геометрического мышления; во-вторых, позволяет, как мы покажем ниже, объяснить некоторые особенности строения доказательства и формировавшейся на основе доказательства системы геометрических знаний; в-третьих, подкрепляется некоторыми эмпирическими данными.

5. Выделим теперь некоторые условия, необходимые для применения предложенного здесь способа, а также отдельные его характеристики:

1) Для отнесения знания А к объектам М_І, М₂ необходимо было иметь или построить (последнее чаще) специальный объект М₁ обеспечивающий такое отнесение. Этот объект должен разбираться на такие объекты-элементы (объекты М₁, М₂, М_І' и т. п.), к которым можно отнести составляющие знания А и те знания, которые в процессе отнесения привлекались в качестве средств.

2) Отнесение знания А предполагало реализацию (использование в качестве средств) других ранее полученных геометрических знаний, а именно в данном случае знания Е и Я.

Следовательно, деятельностью по отнесению знания А были связаны три знания: А, Е и Я. Это можно изображать так:

 

­ Конец страницы 290 ­

¯ Начало страницы 291 ¯

где связи между знаниями обозначены стрелками.

 

 

Если знание А используется для отнесения следующего знания К, то получится более сложная картина. В принципе этот процесс может продолжаться неограниченно, порождая длинные разветвленные цепи знаний. На определенном этапе формирования предмета геометрии процесс порождения разветвленных цепей геометрических знаний становится достаточно самостоятельным. Главную роль при этом играют рефлективные процедуры, осуществляемые в рамках философии и логики. Они позволяют охарактеризовать способы получения геометрических знаний и сделать такое получение самостоятельной целью.

3) Построение или разборка исходного объекта М на объекты-элементы, а также разборка объектов-элементов на другие объекты-элементы (элементы 2-го уровня) последовательно детерминируются строением знаний А, Е и Я. И наоборот, привлечение знаний Е и Я детерминируется строением исходного объекта и строением объектов-элементов.

Детерминация здесь осуществляется через шаг. В одном шаге строение знания детерминирует построение или разборку объекта, в другом шаге, наоборот, объект, образованный в результате построения или разборки, детерминирует выбор определенного знания.

4) Все движение целиком задается и определяется системой требований, иерархированных между собой: исходным требованием — отнести знание А к объектам М₁, М₂, первым промежуточным требованием — отнести к ним же знание О,-третьим промежуточным требованием — отнести к этим объектам знания Р и R¹.

_____________

¹ Позднее требования превращаяются в задачи, а переход от одних требований к другим рассматривается как движение в задачах (переход от исходных задач к промежуточным)

­ Конец страницы 291 ­

¯ Начало страницы 292 ¯

5) Актуальная или потенциальная реализация определенного требования, происходящая в- результате осуществления некоторого фрагмента мыслительной деятельности, создает новую предметную и объектную ситуацию (т. е новый набор объектов и знаний). На их основе может быть сформулировано следующее в системе требование (см. п. 4). При его формулировании используются результаты анализа сложившейся предметной и объектной ситуации, а также предшествующее, реализованное требование.

6) Способ, каким знание А было отнесено к чертежам, мог послужить образцом, позволяющим отнести к чертежам еще целую группу полученных к тому времени знаний (знаний второй линии). Например, в результате сравнения длин сторон фигур и величины наклонения сторон друг к другу (углов) могли быть получены следующие выражения: «в треугольнике, у которого равны две стороны, равны и два угла, прилегающие к этим сторонам»; «в треугольнике против самой длинной стороны находится самый большой угол»; «в прямоугольнике противоположные стороны равны». Несмотря на то, что указанные выражения были получены, чтобы их превратить в геометрические знания, необходимо было отнести эти выражения к чертежам, т. е. получить их заново другим способом. Этим способом и мог явиться описанный нами способ отнесения знания А к чертежам. Осознание его должно было выглядеть так: 1) чтобы некоторое знание А превратить в геометрическое знание, нужно построить специальный чертеж-фигуру: ее можно разбирать на такие чертежи-фигуры, относительно которых уже были получены или можно было получить геометрические знания; 2) эти знания должны быть такими, из которых можно образовать знание А. Можно предположить, что, как только такое осознание произошло, греческие математики получили в свои руки мощное средство для получения геометрических знаний (само выражение знания должно быть предварительно получено в другой процедуре и известно (см. § 1 настоящего раздела).

Все геометрические знания, полученные с помощью этого средства (а таких знаний было большинство), образовали длинные разветвленные цепи.

Так как геометрические знания во второй линии получаются на основе знаний, полученных в первой линии или приписанных чертежу, то каждое знание из второй линии, подобно знаниям из первой линии, должно состоять из двух

­ Конец страницы 292 ­

¯ Начало страницы 293 ¯

составляющих: 1) знания, полученного из чертежа, фиксирующего его отличительные характеристики, 2) знания, приписанного этому чертежу, фиксирующего отношения равенства или неравенства. Действительно, приписанные чертежу составляющие знаний первой линии должны переходить за счет разборки, преобразования чертежей и движения в знаниях от знаний из первой линии к знаниям из второй линии, «откладываясь» в каждом знании второй линии (см. п 1—4 данного параграфа). Если изменить строение приписанного знания (как это, например, было сделано в геометрии Лобачевского, когда знание пятого постулата изменили на противоположное), должны измениться все остальные знания цепи, связанные с этим знанием преобразованиями чертежей, Следовательно, объектами во второй линии развития также являлись не просто рисунки фигур, а именно чертежи, т. е. рисунки фигур, к которым были отнесены определенные знания (отношения равенства или неравенства) и которые включались в мнимое действие сопоставления.

Этот факт позволяет, в частности, понять, как в системе геометрических знаний могут получаться противоречия и что такое «правильное» и «неправильно» геометрическое знание Так, для получения большинства геометрических знаний нужно было строить строго определенные рисунки фигур, к которым нужно было относить строго определенные знания. Однако не всегда было ясно, можно ли к построенному рисунку фигуры отнести знание, которое для получения нового знания необходимо было отнести. Анализ эмпирического материала позволяет предположить, что иногда к построенным рисункам (объектам) относились такие знания, которые позволили получить новые геометрические знания, противоречащие уже полученным прежде знаниям. Анализ получения этих новых знаний показал, что каждый раз ошибка возникала, когда к построенному чертежу относились («неправильные» (неистинные) знания. Например, предполагали, что определенные линии пересекаются внутри треугольника, а они пересекались вне треугольника; предполагали, что треугольник можно построить из любых трех линий, что в общем случае неверно; предполагали, что против большей стороны треугольника может лежать любой угол, а оказалось, что только больший угол.

Отнесение к чертежу неправильного знания возможно потому, что геометр не строил чертеж, точно удовлетворяющий знанию, а полагал, что данный построенный чертеж как раз

­ Конец страницы 293 ­

¯ Начало страницы 294 ¯

такой, из которого можно получить отнесенное к чертежу знание. Например, никто не строил линию, точно проходящую через середину основания (линия проводится всегда приблизительно через середину), а просто говорил: «Проведем линию через середину основания»; никто не строил равнобедренный треугольник со сторонами, точно равными между собой, а говорил: «Треугольник равносторонний». Если к построенному чертежу по ошибке отнесено неправильное знание, то в развертывающейся цепи знаний рано или поздно должно появиться знание, противоречащее ранее полученным знаниям, И вот почему. Все полученные знания за счет разборки чертежей прямо или опосредованно связаны друг с другом: преобразуя чертежи на основе одних знаний, получают другие знания. При этом в полученные знания входят составляющие тех знаний, на основе которых данные знания были получены (например, в знание А в качестве составляющих входили составляющие знаний Е и Я). Следовательно, все полученные в цепи знания как бы частично, через свои составляющие, вложены друг в друга, образуя тем самым одно сложное знание или, точнее, сеть связанных между собой знаний. Предположим теперь, что к определенному построенному чертежу отнесли неправильное знание. Используя этот чертеж, геометры могли и должны были разложить его на такие чертежи-элементы, к которым в предыдущем процессе уже были отнесены правильные знания. В результате к этим чертежам могли быть отнесены знания, образованные из разных составляющих, как правильных, так и неправильных знаний. С другой стороны, относительно этих же чертежей получено знание, составленное только из правильных знаний. Таким образом, к одному и тому же рисунку фигуры могут быть отнесены два разных знания: знание, образованное только из правильных знаний, и знание, образованное как из правильных, так и из неправильных знаний.

Учитывая особый характер объектов геометрии (фигур), можно понять, что собой представляют эти антиномии. Получая относительно одного и того же рисунка фигуры в одной процедуре (процедуре получения знаний) два разных геометрических знания, греческие математики привносили в этот рисунок два разных знания, превращая его в два чертежа, в два разных объекта. Однако, поскольку греческие математики отождествляли объект с рисунком фигуры, они считали, что получили относительно одного объекта в одной процедуре два разных знания: знание А (например, знание

­ Конец страницы 294 ­

¯ Начало страницы 295 ¯

«углы у треугольника равны двум Прямым») и знание не-А (например, «углы у треугольника не равны двум прямым»). В то же время знания А и не-А — это знании о двух разных объектах, хотя и об одном рисунке фигуры. Но, повторяем, поскольку греческие математики под объектом понимали просто рисунок фигуры, а не рисунок с отнесенным к нему знанием, т. е. чертеж, они считали, что относительно одного и того же объекта получены в одной и той же процедуре два разных знания. В результате они часто не могли сказать, каков объект: или А, или не-А. Поэтому греческие математики приходят к мысли, что одно из полученных знаний не может относиться к данному объекту; это неправильное знание, оно не имеет права на существование и должно быть убрано из цепи знаний. Но спрашивается, какое же знание из двух надо исключить, признать неверным. Ответ ясен,— знание, которое увеличивает Число удвоенных знаний А и не-А, когда его связывают с другими, ранее полученными знаниями за счет преобразования чертежей¹.